
No.14ベストアンサー
- 回答日時:
z,z^2,z^3,…,z^n
が複素平面で正n角形を作る時
正n角形の1辺の長さをaとする
zの両隣のどちらかはz^nではないので、
それをz^kとすると
a≦|z^(k+1)-z^2|=|z^k-z||z|=a|z|
z^nの両隣のどちらかはzではないので、
それをz^jとすると
a|z|≦|z^(j-1)-z^(n-1)||z|=|z^j-z^n|=a
↓これとa≦a|z|から
a|z|=a
∴
|z|=1
よって
原点を中心とする半径1の円に内接するから
(1/n)(z+z^2+…+z^n)=0
よって
z^n=1
No.12
- 回答日時:
z,z^2,z^3,…,z^n
が複素平面で正n角形を作る時
1/z,1/z^2,1/z^3,…,1/z^n
も正n角形を作るから
|z|≦1としてよい
正n角形の1辺の長さをaとする
zの両隣のどちらかはz^nではないので、
それをz^kとすると
a≦|z^(k+1)-z^2|=|z||z^k-z|≦|z^k-z|=a
だから
a=|z||z^k-z|=|z^k-z|=a
∴
|z|=1
だから、
∴
z^n=1
No.11
- 回答日時:
z,z^2,z^3,…,z^n
が複素平面で正n角形を作る時
1/z,1/z^2,1/z^3,…,1/z^n
も正n角形を作るから
|z|≦1としてよい
|z|<1と仮定する。
正n角形の1辺の長さをaとする
zの両隣のどちらかはz^nではないので、
それをz^kとすると
|z^(k+1)-z^2|=|z||z^k-z|<|z^k-z|=a
頂点z^(k+1)と頂点z^2の距離は正n角形の1辺の長さaよりも小さくなるが
こんなことはあり得ない。したがって|z|=1であり、z^n=1である。
No.10
- 回答日時:
複素平面上の四点α、β、γ、δが同一円周上にある時
(α―γ)/(β-γ)と(α―δ)/(β-δ)の比が実数になるという命題を使う:
n≧4 のとき
z、z^2、z^3、z^4 は同一円周上にあるから
α=z^2、β=z^4、γ=z^3、δ=zとおいて上式に代入して
整理すると
z+1/z=実数が出てくる。つまりz+1/zの虚数部分=0
z+1/z-(z*+1/z*)=0 z*はzの共役数
この式とzが実数でないことから|z|^2=1、|z|=1
したがって、z^2、・・・z^nの各絶対値も1で
z、z^2、・・・z^nは正多角形をなすから
z+z^2+・・・+z^n=0、となります。
n=3のとき
複素平面上の複素数α、β、γが正三角形をなすなら
α^2+β^2+γ^2-αβ-βγ-γα=0
の命題があるから
α=z、β=z^2、γ=z^3 として上式に入れれば
z^3=1 がただちに得られます。
No.8
- 回答日時:
#4 の途中から分岐して
正n角形 z, z^2, ..., z^n と正n角形 1, z, ..., z^(n-1) が相似なので |z|=1, よって後者は「原点を中心とする半径 1 の円」に内接するから
(1/n)[1+z+...+z^(n-1)]=0,
よって z^n=1
ってやれば n=3 でもいけるな.
No.5
- 回答日時:
まず、仮定を満たさないので
z≠0, 1 ・・・・・・①
は自明。
各頂点の和、つまり重心は外接円の中心 cとなる。つまり、
z+z²+z³+…+zⁿ=c・・・・②
さらに、各頂点と cの距離は外接円の半径 rに等しいから
|z^k - c|=r (k=1,…,n)
k=1,n として、②を使うと
|z²+z³+…+zⁿ|=|z+z²+…+zⁿ⁻¹|
→ |z||z+z²+…+zⁿ⁻¹|=|z+z²+…+zⁿ⁻¹|
ここで、①から、z+z²+…+zⁿ⁻¹=z(1-zⁿ⁻¹)/(1-z) なので
→ (|z|-1) (|z|/|1-z|) (1-zⁿ⁻¹)=0
したがって、
|z|=1 or zⁿ⁻¹=1
後者とすると zⁿ=z となり、これらが多角形の別の頂点という
仮定に矛盾。だから
|z|=1
のみとなる。すると |zⁿ|=1 となり、すべての頂点の距離は1
だから、外接円の中心は原点となる。すなわち、②において c=0.
すると
z+z²+z³+…+zⁿ=z(1-zⁿ)/(1-z)=0 → zⁿ=1
を得る。
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