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zを複素数とする。z,z²,z³,…,zⁿが複素平面で正n角形を作るとき、zⁿ=1でしょうか?z,z²,z³,…,zⁿはこの順に並んでいるとは限りません。

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A 回答 (14件中1~10件)

z,z^2,z^3,…,z^n


が複素平面で正n角形を作る時

正n角形の1辺の長さをaとする

zの両隣のどちらかはz^nではないので、
それをz^kとすると
a≦|z^(k+1)-z^2|=|z^k-z||z|=a|z|

z^nの両隣のどちらかはzではないので、
それをz^jとすると
a|z|≦|z^(j-1)-z^(n-1)||z|=|z^j-z^n|=a
↓これとa≦a|z|から
a|z|=a

|z|=1

よって
原点を中心とする半径1の円に内接するから
(1/n)(z+z^2+…+z^n)=0
よって

z^n=1
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この回答へのお礼

うれしい

なかなか考えましたね。

お礼日時:2022/04/01 22:44

ぼくの解答もしょぼいな とは思ったが


No.11さんのは思いつかなかった。
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z,z^2,z^3,…,z^n


が複素平面で正n角形を作る時
1/z,1/z^2,1/z^3,…,1/z^n
も正n角形を作るから
|z|≦1としてよい
正n角形の1辺の長さをaとする
zの両隣のどちらかはz^nではないので、
それをz^kとすると

a≦|z^(k+1)-z^2|=|z||z^k-z|≦|z^k-z|=a
だから
a=|z||z^k-z|=|z^k-z|=a

|z|=1
だから、

z^n=1
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z,z^2,z^3,…,z^n


が複素平面で正n角形を作る時
1/z,1/z^2,1/z^3,…,1/z^n
も正n角形を作るから
|z|≦1としてよい
|z|<1と仮定する。
正n角形の1辺の長さをaとする
zの両隣のどちらかはz^nではないので、
それをz^kとすると

|z^(k+1)-z^2|=|z||z^k-z|<|z^k-z|=a

頂点z^(k+1)と頂点z^2の距離は正n角形の1辺の長さaよりも小さくなるが
こんなことはあり得ない。したがって|z|=1であり、z^n=1である。
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複素平面上の四点α、β、γ、δが同一円周上にある時


(α―γ)/(β-γ)と(α―δ)/(β-δ)の比が実数になるという命題を使う:

n≧4 のとき
z、z^2、z^3、z^4 は同一円周上にあるから
α=z^2、β=z^4、γ=z^3、δ=zとおいて上式に代入して
整理すると
z+1/z=実数が出てくる。つまりz+1/zの虚数部分=0
z+1/z-(z*+1/z*)=0 z*はzの共役数
この式とzが実数でないことから|z|^2=1、|z|=1
したがって、z^2、・・・z^nの各絶対値も1で
z、z^2、・・・z^nは正多角形をなすから
z+z^2+・・・+z^n=0、となります。

n=3のとき
複素平面上の複素数α、β、γが正三角形をなすなら
α^2+β^2+γ^2-αβ-βγ-γα=0 
の命題があるから
α=z、β=z^2、γ=z^3 として上式に入れれば
z^3=1 がただちに得られます。
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正n角形の中心が原点だと誤解されてませんか?



まったくそのとおりです。すいません。
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#4 の途中から分岐して


正n角形 z, z^2, ..., z^n と正n角形 1, z, ..., z^(n-1) が相似なので |z|=1, よって後者は「原点を中心とする半径 1 の円」に内接するから
(1/n)[1+z+...+z^(n-1)]=0,
よって z^n=1
ってやれば n=3 でもいけるな.
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複素数もベクトルの性質を持っているから


z、z^2、・・z^nが正n角形を作るなら
z+z^2+・・・z^n=0 つまり
z(1+z+・・・z^(n-1))=0
ここでz≠0だから
1+z+・・・z^(n-1)=0
ゆえに
(z^n)-1=(z-1)(1+z+・・・z^(n-1))=0
でどうでしょうか?
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この回答へのお礼

うーん・・・

正n角形の中心が原点だと誤解されてませんか?

お礼日時:2022/03/16 12:13

失礼しました。


z+z²+z³+…+zⁿ=nc・・・・②
のため誤りでした。
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まず、仮定を満たさないので


 z≠0, 1 ・・・・・・①
は自明。

各頂点の和、つまり重心は外接円の中心 cとなる。つまり、
 z+z²+z³+…+zⁿ=c・・・・②
さらに、各頂点と cの距離は外接円の半径 rに等しいから
 |z^k - c|=r (k=1,…,n)
k=1,n として、②を使うと
 |z²+z³+…+zⁿ|=|z+z²+…+zⁿ⁻¹|
→ |z||z+z²+…+zⁿ⁻¹|=|z+z²+…+zⁿ⁻¹|

ここで、①から、z+z²+…+zⁿ⁻¹=z(1-zⁿ⁻¹)/(1-z) なので
→ (|z|-1) (|z|/|1-z|) (1-zⁿ⁻¹)=0

したがって、
 |z|=1 or zⁿ⁻¹=1

後者とすると zⁿ=z となり、これらが多角形の別の頂点という
仮定に矛盾。だから
 |z|=1
のみとなる。すると |zⁿ|=1 となり、すべての頂点の距離は1
だから、外接円の中心は原点となる。すなわち、②において c=0.

すると
 z+z²+z³+…+zⁿ=z(1-zⁿ)/(1-z)=0 → zⁿ=1
を得る。
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