数学的帰納法

数学的帰納法を用いて以下の不等式を証明する問題で、n=k+1のときの証明でk(2k+1)/2+√(2k+1)(2k+2)と(k+1){2(k+1)+1}/2の大小を比較するのはなぜですか？

√1・2+√3・4+・・・+√(2n−1)・2n＜n(2n+1)/2

No.6 回答者： ありものがたり 回答日時： 2022/03/15 21:57

√1・2+√3・4+・・・+√(2n−1)・2n ＜ n(2n+1)/2 の帰納ステップだから、

√1・2+√3・4+・・・+√(2k−1)・2k ＜ k(2k+1)/2 を仮定して
√1・2+√3・4+・・・+√(2(k+1)−1)・2(k+1) ＜ (k+1)(2(k+1)+1)/2 を示そう
ってことですよね。 下の式は
{ √1・2+√3・4+・・・+√(2k−1)・2k } + √(2(k+1)−1)・2(k+1)
＜ (k+1)(2(k+1)+1)/2
なので、もしまんまと
k(2k+1)/2 + √(2k+1)(2k+2) ＜ (k+1){2(k+1)+1}/2　←[＊]
を示すことができれば、
√1・2+√3・4+・・・+√(2k−1)・2k ＜ k(2k+1)/2 の両辺に
√(2(k+1)−1)・2(k+1) を加えて
{ √1・2+√3・4+・・・+√(2k−1)・2k } + √(2(k+1)−1)・2(k+1)
＜ k(2k+1)/2 + (k+1)(2(k+1)+1)/2
＜ (k+1)(2(k+1)+1)/2 だと言うことができます。
だから、 [＊] を示せればうれしいな...となるわけです。
この時点で [＊] が示せるに違いないという確信があるわけじゃないけれど、
もし示せればいいなと。 で、やってみたらできた...ということです。

No.5 回答者： masterkoto 回答日時： 2022/03/15 21:29

それが、自然な発想でかつ検証可能だからです

√1・2+√3・4+・・・+√(2n−1)・2n＜n(2n+1)/2・・・①
n=kのとき　①が成り立つと仮定すると
√1・2+√3・4+・・・+√(2k−1)・2k＜k(2k+1)/2 ・・・②は成り立っています
両辺に同じ数式Aをたしても大小関係は崩れず
√1・2+√3・4+・・・+√(2k−1)・2k+A＜k(2k+1)/2+A…③
です
そして、目標は　①にk+1を代入した
√1・2+√3・4+・・・+√(2k−1)・2k＋√(2k+1)・2(k+1)
＜(k+1)(2k+3)/2…④
が成り立つことを示すこと！

さて、ここで➂のAに何を入れてみようか？
→k(2k+1)/2+A=k(2k+1)/2+(4k+3)/2=(k+1)(2k+3)/2
となり④右辺に一致するということで
A=(4k+3)/2を代入することにすれば
➂→√1・2+√3・4+・・・+√(2k−1)・2k+(4k+3)/2＜(k+1)(2k+3)/2
…⑤です
⑤と④の左辺を比べてやるとその違いは
(4k+3)/2と√(2k+1)・2(k+1)ですから
その大小比較をして
(4k+3)/2<√(2k+1)・2(k+1)・・・⑥　が言えれば
⑤左辺<④左辺(<(k+1)(2k+3)/2)
が言えたことになり　目標達成です
でも⑥の比較ができるかどうかがキーになるわけです
このキーをクリアできれば模範解答とは異なる　この比較方法でも構わないわけです

ご質問の模範解答では
もう一つの自然な発想である
A=√(2k+1)(2k+2) 代入で　③左辺と一致させるという者です
すると➂は
√1・2+√3・4+・・・+√(2k−1)・2k+√(2k+1)(2k+2)
＜k(2k+1)/2+√(2k+1)(2k+2)・・・７
先ほど同様
７と４の右辺の違いを見て
k(2k+1)/2+√(2k+1)(2k+2)＜(k+1)(2k+3)/2
を示せれば
⑦の左辺を付け加えて
√1・2+√3・4+・・・+√(2k−1)・2k+√(2k+1)(2k+2)
＜k(2k+1)/2+√(2k+1)(2k+2)
＜(k+1)(2k+3)/2
がいえるというわけです

No.4 回答者： kairou 回答日時： 2022/03/15 20:52

数学的帰納法とは、自然数に置いて n=1 のときに成立することを示す。

次に、n=k のときに 成り立つと仮定して、
n=k+1 のときに成り立つならば、全ての自然数において成り立つ、
と云う証明作業です。
従って、当然 n=k+1 のときを n=k の結果を使って、
証明しなければなりません。

No.3 回答者： mtrajcp 回答日時： 2022/03/15 20:44

P(n)=[Σ_{m=1～n}√{(2m-1)2m}<n(2n+1)/2]

とする
P(1)=[√2<3/2]は真
ある自然数kに対してP(k)が真と仮定すると

Σ_{m=1～k}√{(2m-1)2m}<k(2k+1)/2

↓両辺に√{(2k+1)(2k+2)}を加えると

Σ_{m=1～k+1}√{(2m-1)2m}<k(2k+1)/2+√{(2k+1)(2k+2)}

ここで
k(2k+1)/2+√{(2k+1)(2k+2)}<(k+1){2(k+1)+1}/2
が
成り立てば

Σ_{m=1～k+1}√{(2m-1)2m}<k(2k+1)/2+√{(2k+1)(2k+2)}<(k+1){2(k+1)+1}/2

Σ_{m=1～k+1}√{(2m-1)2m}<(k+1){2(k+1)+1}/2
が
成り立ち

P(k+1)=[Σ_{m=1～k+1}√{(2m-1)2m}<(k+1)(2(k+1)+1)/2]
が真となるから

No.2 回答者： t_fumiaki 回答日時： 2022/03/15 20:14

a<bを証明したい場合、

a<cが成り立って、c<bも成り立てば、a<bと言えるから。

No.1 回答者： endlessriver 回答日時： 2022/03/15 19:57

n=kのとき

√(1・2)+√(3・4)+・・・+√{(2k−1)・2k}＜k(2k+1)/2・・・①
を仮定します。

するとn=k+1 のとき
[√(1・2)+√(3・4)+・・・+√{(2k−1)・2k}]+√{(2(k+1)−1)・2(k+1)}
　　＜(k+1)(2(k+1)+1)/2・・・・②
を証明すればよい。

すねと、左辺[ ] は①によって
[√(1・2)+√(3・4)+・・・+√{(2k−1)・2k}]+√{(2(k+1)−1)・2(k+1)}
　　< k(2k+1)/2+√{(2(k+1)−1)・2(k+1)}・・・・③

となります。したがって、②<③ をしらべれば結論が得られる。