プロが教えるわが家の防犯対策術!

数学的帰納法を用いて以下の不等式を証明する問題で、n=k+1のときの証明でk(2k+1)/2+√(2k+1)(2k+2)と(k+1){2(k+1)+1}/2の大小を比較するのはなぜですか?

√1・2+√3・4+・・・+√(2n−1)・2n<n(2n+1)/2

A 回答 (6件)

√1・2+√3・4+・・・+√(2n−1)・2n < n(2n+1)/2 の帰納ステップだから、


√1・2+√3・4+・・・+√(2k−1)・2k < k(2k+1)/2 を仮定して
√1・2+√3・4+・・・+√(2(k+1)−1)・2(k+1) < (k+1)(2(k+1)+1)/2 を示そう
ってことですよね。 下の式は
{ √1・2+√3・4+・・・+√(2k−1)・2k } + √(2(k+1)−1)・2(k+1)
< (k+1)(2(k+1)+1)/2
なので、もしまんまと
k(2k+1)/2 + √(2k+1)(2k+2) < (k+1){2(k+1)+1}/2 ←[*]
を示すことができれば、
√1・2+√3・4+・・・+√(2k−1)・2k < k(2k+1)/2 の両辺に
√(2(k+1)−1)・2(k+1) を加えて
{ √1・2+√3・4+・・・+√(2k−1)・2k } + √(2(k+1)−1)・2(k+1)
< k(2k+1)/2 + (k+1)(2(k+1)+1)/2
< (k+1)(2(k+1)+1)/2 だと言うことができます。
だから、 [*] を示せればうれしいな...となるわけです。
この時点で [*] が示せるに違いないという確信があるわけじゃないけれど、
もし示せればいいなと。 で、やってみたらできた...ということです。
    • good
    • 0

それが、自然な発想でかつ検証可能だからです



√1・2+√3・4+・・・+√(2n−1)・2n<n(2n+1)/2・・・①
n=kのとき ①が成り立つと仮定すると
√1・2+√3・4+・・・+√(2k−1)・2k<k(2k+1)/2 ・・・②は成り立っています
両辺に同じ数式Aをたしても大小関係は崩れず
√1・2+√3・4+・・・+√(2k−1)・2k+A<k(2k+1)/2+A…③
です
そして、目標は ①にk+1を代入した
√1・2+√3・4+・・・+√(2k−1)・2k+√(2k+1)・2(k+1)
<(k+1)(2k+3)/2…④
が成り立つことを示すこと!

さて、ここで➂のAに何を入れてみようか?
→k(2k+1)/2+A=k(2k+1)/2+(4k+3)/2=(k+1)(2k+3)/2
となり④右辺に一致するということで
A=(4k+3)/2を代入することにすれば
➂→√1・2+√3・4+・・・+√(2k−1)・2k+(4k+3)/2<(k+1)(2k+3)/2
…⑤です
⑤と④の左辺を比べてやるとその違いは
(4k+3)/2と√(2k+1)・2(k+1)ですから
その大小比較をして
(4k+3)/2<√(2k+1)・2(k+1)・・・⑥ が言えれば
⑤左辺<④左辺(<(k+1)(2k+3)/2)
が言えたことになり 目標達成です
でも⑥の比較ができるかどうかがキーになるわけです
このキーをクリアできれば模範解答とは異なる この比較方法でも構わないわけです

ご質問の模範解答では
もう一つの自然な発想である
A=√(2k+1)(2k+2) 代入で ③左辺と一致させるという者です
すると➂は
√1・2+√3・4+・・・+√(2k−1)・2k+√(2k+1)(2k+2)
<k(2k+1)/2+√(2k+1)(2k+2)・・・7
先ほど同様
7と4の右辺の違いを見て
k(2k+1)/2+√(2k+1)(2k+2)<(k+1)(2k+3)/2
を示せれば
⑦の左辺を付け加えて
√1・2+√3・4+・・・+√(2k−1)・2k+√(2k+1)(2k+2)
<k(2k+1)/2+√(2k+1)(2k+2)
<(k+1)(2k+3)/2
がいえるというわけです
    • good
    • 0

数学的帰納法とは、自然数に置いて n=1 のときに成立することを示す。


次に、n=k のときに 成り立つと仮定して、
n=k+1 のときに成り立つならば、全ての自然数において成り立つ、
と云う証明作業です。
従って、当然 n=k+1 のときを n=k の結果を使って、
証明しなければなりません。
    • good
    • 0

P(n)=[Σ_{m=1~n}√{(2m-1)2m}<n(2n+1)/2]


とする
P(1)=[√2<3/2]は真
ある自然数kに対してP(k)が真と仮定すると

Σ_{m=1~k}√{(2m-1)2m}<k(2k+1)/2

↓両辺に√{(2k+1)(2k+2)}を加えると

Σ_{m=1~k+1}√{(2m-1)2m}<k(2k+1)/2+√{(2k+1)(2k+2)}

ここで
k(2k+1)/2+√{(2k+1)(2k+2)}<(k+1){2(k+1)+1}/2

成り立てば

Σ_{m=1~k+1}√{(2m-1)2m}<k(2k+1)/2+√{(2k+1)(2k+2)}<(k+1){2(k+1)+1}/2

Σ_{m=1~k+1}√{(2m-1)2m}<(k+1){2(k+1)+1}/2

成り立ち

P(k+1)=[Σ_{m=1~k+1}√{(2m-1)2m}<(k+1)(2(k+1)+1)/2]
が真となるから
    • good
    • 0

a<bを証明したい場合、



a<cが成り立って、c<bも成り立てば、a<bと言えるから。
    • good
    • 0

n=kのとき


√(1・2)+√(3・4)+・・・+√{(2k−1)・2k}<k(2k+1)/2・・・①
を仮定します。

するとn=k+1 のとき
[√(1・2)+√(3・4)+・・・+√{(2k−1)・2k}]+√{(2(k+1)−1)・2(k+1)}
  <(k+1)(2(k+1)+1)/2・・・・②
を証明すればよい。

すねと、左辺[ ] は①によって
[√(1・2)+√(3・4)+・・・+√{(2k−1)・2k}]+√{(2(k+1)−1)・2(k+1)}
  < k(2k+1)/2+√{(2(k+1)−1)・2(k+1)}・・・・③

となります。したがって、②<③ をしらべれば結論が得られる。
    • good
    • 0

お探しのQ&Aが見つからない時は、教えて!gooで質問しましょう!

このQ&Aを見た人はこんなQ&Aも見ています


人気Q&Aランキング