どうやって青い下線部の式から、緑色の下線部の式を導き、また、どうやって赤い下線部から黄色い下線部の式

どうやって青い下線部の式から、緑色の下線部の式を導き、また、どうやって赤い下線部から黄色い下線部の式になったのでしょうか？ どうか過程の式を教えてください。

質問者からの補足コメント

• 補足で申し訳ありません。
  
  画像の赤い下線部の式に関して、なぜv=(-2,11)の時赤い下線部の式は成り立たないとわかったのでしょうか？
  正規直交基底を表す1と導かれなかったためでしょうか？

  
    補足日時：2022/03/16 13:25

• 再度申し訳ありません。
  内積の定義は知っているのですが、
  画像の水色の下線部の式がオレンジ色の下線部になる理由と過程の計算を教えて頂けないでしょうか？
  
  どうかよろしくお願い致します。

  
    補足日時：2022/03/16 15:15

• ありがとうございます。
  理解した上で疑問が湧いたのですが、質問してもよろしいでしょうか？
  
  1,(f(x),g(x))=(∫[ーπ, π){f(x)・g(x)}dx)は0になりますが、場合によっては0以外の数値になることがあったのですが、正しいでしょうか？
  
  2,(f(x),g(x))= (∫[ーπ, π){f(x)・g(x)}dx)が
  =llall^2と置ける理由が知りたいです。
  定義だからとかではなく、理屈で説明して欲しいです。
  
  
  3,フーリエ級数展開と正規直交基底に関して
  {cos(nx),sin(nx)}からen(x)を導くと何がわかるのでしょうか？

    補足日時：2022/03/17 17:50

• 4, {1/√(2π), (1/√π)cosx, (1/√π)cos2x, …, (1/√π)sinx, (1/√π)sin2x, …}の場合で、
  (f, ej)=(a1 e1+a2 e2+...+aj ej+...+an en, ej)
   =a1(e1, ej)+a2(e1,ej)+...+aj(ej, ej)+...+an(en, ej)
  =aj
  となりますが正しいでしょうか？
  
  5,最後にフーリエ級数展開を正規直交基底から導くとして、
  なぜ普通の基底ではなく、正規直交基底のみからしか導けないのでしょうか？
  
  図などを用いて説明して頂けるとありがたいです。
  
  どうかよろしくお願い致します。

    補足日時：2022/03/17 17:50

No.5 ベストアンサー 回答者： ありものがたり 回答日時： 2022/03/17 18:06

あ、話題が変わった。

質疑応答が終わった後で質問を変えてくるのは酷いな。

この回答へのお礼

ごめんなさい。
ありものがたりさんをベストアンサーして閉じます。
申し訳ありません

お礼日時：2022/03/17 18:07

No.4 回答者： ありものがたり 回答日時： 2022/03/17 17:01

＞ (a1 e1, a1 ej)ではないのにa1を前に出してa1(e1, ej)とできる理由を教えて下さい。

⟨λx + y, z⟩ = λ⟨x, z⟩ + ⟨y, z⟩ の式で
λ = a1, x = e1, y = a2 e2 + a3 e3 + ... + an en, z = ej とすると
(a1 e1 + a2 e2 + a3 e3 + ... + an en, ej)
= a1(e1, ej) + (a2 e2 + a3 e3 + ... + an en, ej).

(a1 e1, ej) = a1(e1, ej) は、分配法則じゃなくて
スカラー倍の法則 ⟨λx, z⟩ = λ⟨x, z⟩ を使っているが、これに
λ = a1, x = e1, z = ej を代入しただけ。

スカラー倍の法則は内積の右側の引数にもあって
⟨x, μz⟩ = (μの共役複素数)⟨x, z⟩ だから、
μが実数であれば ⟨x, μz⟩ = μ⟨x, z⟩.
これを使うと、
(a1 e1, a1 ej) = a1(a1 e1, ej) = (a1^2)(e1, ej) であって
(a1 e1, a1 ej) = a1(e1, ej) にはならない。

この回答へのお礼

なるほど。「スカラー倍の法則 ⟨λx, z⟩ = λ⟨x, z⟩ を使っている」に関して、ベクトルxだけがλ倍されるためだったのですね。
また、 λ⟨x, z⟩が形的にλ(x, z)に見えてしまっていたため共通項を前に出すと勘違いしていました。
なるほど、ベクトルに関する倍を表現する時はλ<x, z>と置くのですね

お礼日時：2022/03/17 17:38

No.3 回答者： ありものがたり 回答日時： 2022/03/17 11:03

＞ 過程の計算を内積の定義を用いてわかりやすく教えて頂けないでしょうか？

内積の定義は、別の質問の回答にも引用したコレ。↓
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%86%85%E7%A9%8D …
リンク先では、線形性を ⟨λx + y, z⟩ = λ⟨x, z⟩ + ⟨y, z⟩ と書いているが、
ここから λ = 1 のとき ⟨x + y, z⟩ = ⟨x, z⟩ + ⟨y, z⟩,
y = (→0) のとき ⟨λx, z⟩ = λ⟨x, z⟩ + 0 が導けるから、
高校の教科書流の線形性を表す式と違いはない。

これを繰り返し使うと、
(a1 e1 + a2 e2 + a3 e3 + ... + an en, ej)
= a1(e1, ej) + (a2 e2 + a3 e3 + ... + an en, ej)
= a1(e1, ej) + a2(e2, ej) + (a3 e3 + ... + an en, ej)
= ...
= a1(e1, ej) + a2(e2, ej) + a3(e3, ej) + ... + an(en, ej).

No.２ に書いた計算のほうが直感的だと思うんだけどな。
線形計算が好きでないのかな？

この回答へのお礼

ありものがたりさま、ありがとうございます。
嫌いではないですが、苦手です。

質問があります。

「内積の分配法則を使って
(f, ej) = (a1 e1 + a2 e2 + a3 e3 + ... + an en, ej)
　　　= (a1 e1, ej) + (a2 e2, ej) + (a3 e3, ej) + ... + (an en, ej)」
と

「(f, ej) = (a1 e1 + a2 e2 + a3 e3 + ... + an en, ej)
　　　= a1(e1, ej) + a2(e2, ej) + a3(e3, ej) + ... + an(en, ej)」
に関して、内積の定義の一つである分配法則を利用していますが、内積の分配法則により(a1 e1, ej)がa1(e1, ej)となる理由を分かりやすく教えて頂けないでしょうか？

というかのも(a1 e1, a1 ej)ならばa1を前に出してa1(e1, ej)になるのでは？といまだに納得できていない部分があるためです。

どうか(a1 e1, a1 ej)ではないのにa1を前に出してa1(e1, ej)とできる理由を教えて下さい。

図などを用いて説明して頂けると理解しやすいです。

どうかよろしくお願い致します。

お礼日時：2022/03/17 16:20

No.2 回答者： ありものがたり 回答日時： 2022/03/16 16:40

質問文中では説明してないけれど、おそらく、

a1, a2, a3, ..., an はスカラーであって
ベクトル f, e1, e2, e3, ..., en に対して
f = a1 e1 + a2 e2 + a3 e3 + ... + an en
が成立するように定義されたものだろうと思う。
だから、この式の f を (f, ej) へ代入すれば、
内積の分配法則を使って
(f, ej) = (a1 e1 + a2 e2 + a3 e3 + ... + an en, ej)
　　　= (a1 e1, ej) + (a2 e2, ej) + (a3 e3, ej) + ... + (an en, ej)
が言えて、
内積のスカラー倍法則を使って
k = 1, 2, 3, ..., n について (ak ek, ej) = ak(ek, ej)
が言える。
これらを併せると、
(f, ej) = (a1 e1 + a2 e2 + a3 e3 + ... + an en, ej)
　　　= a1(e1, ej) + a2(e2, ej) + a3(e3, ej) + ... + an(en, ej)
となる。

そして、これも質問文中で説明されてないけれど、おそらく
e1, e2, e3, ..., en は
(ej, ej) = 1,　i≠j のとき (ei, ej) = 1 となるように定義されている
のだろうと思う。 そのため
a1(e1, ej) + a2(e2, ej) + a3(e3, ej) + ... + an(en, ej)
= aj(ej,ej) = aj
となって、質問の前半が導かれる。

こうして得られた aj = (f, ej) を
f = a1 e1 + a2 e2 + a3 e3 + ... + an en の右辺の各 aj へ代入すれば、
f = (f, e1)e1 + (f, e2)e2 + (f, e3)e3 + ... + (f, en)en となる。

以上の説明が合っているかどうかは、君が書いていない
上記で「思う」と書いた推測が当たっているかどうかによる。
質問は、問題がちゃんと判るように書いて聞かないとね。

この回答へのお礼

申し訳ありません。

(f, ej) = (a1 e1 + a2 e2 + a3 e3 + ... + an en, ej)から
= (a1 e1, ej) + (a2 e2, ej) + (a3 e3, ej) + ... + (an en, ej)
と
(f, ej) = (a1 e1 + a2 e2 + a3 e3 + ... + an en, ej)
から= a1(e1, ej) + a2(e2, ej) + a3(e3, ej) + ... + an(en, ej)

となるまでの過程の計算を内積の定義を用いてわかりやすく教えて頂けないでしょうか？

どうかよろしくお願い致します。

お礼日時：2022/03/17 10:15

No.1 回答者： t_fumiaki 回答日時： 2022/03/16 13:34

緑の1行上、×0は全て0。

だから、aj×1だけが残る。

関数が定義されている。
上5行を良～く解釈すると、
(f,e1)=a1、(f,e2)=a2、(f,e3)=a3、・・・・・となっていて、
eの後の数字がaの後の数字になる様に定義されている。

だから、「(f,e100)ならa100だぞ」っと言ってる訳。①

a1e1では①により、a1は(f,e1)なんだから、a1e1=(f,e1)e1

同様に定義から、a2e2=(f,e2)e2・・・・って事。

この回答へのお礼

なるほど！ありがとうございます。
同じ座標同士でない部分は全て0になるわけですね！逆に同じ座標同士ならどんな座標同士も1になるわけですね！

出来れば補足にもお答えして頂けるとありがたいです。

お礼日時：2022/03/16 15:11