数学の問題で教えて欲しいです。x二乗-2x-4＝0のふたつの解をα、βとするとき、α二乗-3αβ+β

数学の問題で教えて欲しいです。x二乗-2x-4＝0のふたつの解をα、βとするとき、α二乗-3αβ+β二乗の値はいくらか。
求め方が分かりません。詳しく教えて欲しいです

No.3 回答者： t_fumiaki 回答日時： 2022/03/20 13:11

解と係数の関係をつかう。

ax²+bx+c=0では、α+β=-b/a、α･β=c/a
これより、α+β=2、α･β=-4 ①

α²-3αβ+β²=(α+β)²-5αβ
ここの右辺に①を代入すれば良いのだよ～ん

No.2 回答者： yhr2 回答日時： 2022/03/20 12:01

x^2 - 2x - 4 = 0

の解をα、βとすれば、解と係数との関係から
　α + β = 2　　　①
　αβ = -4　　　　②
となることはよいですね？

解がα、βということは、
　(x - α)(x - β) = 0
ということですから。

これを使えば
　α^2 - 3αβ + β^2
= (α + β)^2 - 5αβ
ですから、①②を代入して
= 2^2 - 5･(-4)
= 4 + 20
= 24
ということになります。

間接的には、①②の連立方程式を解いて、
①より
　β = 2 - α
を②に代入して
　α(2 - α) = -4
→　α^2 - 2α - 4 = 0
→　α = 1 ± √(1 + 4)
　　　= 1 ± √5
①より
　β = 1 ∓ √5　（複号同順）
として、これを
　α^2 - 3αβ + β^2
に代入してもよいです。

No.1 回答者： masterkoto 回答日時： 2022/03/20 11:34

解と係数の関係

利用です