皆様に期待していたのですが、ピリッとした回答が一つもこない。仕方ないので自分で考えることにしました。

皆様に期待していたのですが、ピリッとした回答が一つもこない。仕方ないので自分で考えることにしました。

zを複素数とする。z,z²,z³,…,zⁿが複素平面で正n角形を作るとき、zⁿ=1でしょうか？z,z²,z³,…,zⁿはこの順に並んでいるとは限りません。

という質問をしたところ、多くの回答をいただき感謝しております。ただ、冴えない場合分けがあったり意味不明だったりと、とてもじゃないですけど納得ができなかったので、考えるのは苦手なのですが、自分でなんとかしなければなりませんでした。

以下が私の考えたことです。

|z|≦1としてよい。|z|<1と仮定する。zの両隣のどちらかはz^nではないので、それをz^kとすると
z^(k+1)=z^2+z(z^k-z)
となるが、こんなことはあり得ない。したがって|z|=1であり、z^n=1である。


回答者の皆様に質問です。
いかがでしょうか？
なにか問題点があれば教えて下さい。

うまく行きすぎて怖いです。

No.16 ベストアンサー 回答者： mtrajcp 回答日時： 2022/03/24 16:56

z,z^2,z^3,…,z^n

が複素平面で正n角形を作る時

正n角形の1辺の長さをaとする

zの両隣のどちらかはz^nではないので、
それをz^kとすると
a≦|z^(k+1)-z^2|=|z^k-z||z|=a|z|
だから
1≦|z|

z^nの両隣のどちらかはzではないので、
それをz^jとすると
a|z|≦|z^(j-1)-z^(n-1)||z|=|z^j-z^n|=a
だから
|z|≦1

↓これと|z|≧1から

|z|=1

よって
原点を中心とする半径1の円に内接するから
(1/n)(z+z^2+…+z^n)=0
よって

z^n=1

この回答へのお礼

なかなか考えましたね。

お礼日時：2022/04/01 22:42

No.15 回答者： syotao 回答日時： 2022/03/22 16:20

いや、背理法を避けたいなら：

まず表題の恒等式から
|z^(k+1)－z^2|＝|ｚ||z^k-z|
|z^(k+1)－z^2|≧|z^k-z|だから|ｚ|≧1
一方指摘されてるように1/ｚ、(1/ｚ)^2、・・・(1/ｚ)^ｎも
正多角形をなすから、この恒等式でｚを1/ｚにおきかえて
同じ推論で|1/ｚ|≧1が出る、ゆえに|ｚ|＝1、だけど
背理法と大してちがわんかなあ？

いずれにしろこの恒等式の発見はすごい！

No.14 回答者： Tacosan 回答日時： 2022/03/22 01:28

あ, さらに増えてたんだ. 気付いてなかった.

あれ? ってことは, |z|=1 って条件も不要で, 実は
|z| > 0 (つまり z≠0)
だけ仮定すれば十分だったのか.

なお (不必要ではある) |z|=1 は z^n=1 の十分条件ではないので, 本当は間を埋めないといけないのでは.

No.13 回答者： syotao 回答日時： 2022/03/21 14:48

調和級数の発散といい、

これといい、

背理法の乱用罪だぁ笑、
いや、まいった、まいった。

No.12 回答者： mtrajcp 回答日時： 2022/03/21 11:15

z,z^2,z^3,…,z^n

が複素平面で正n角形を作る時
1/z,1/z^2,1/z^3,…,1/z^n
も正n角形を作るから
|z|≦1としてよい
正n角形の1辺の長さをaとする
zの両隣のどちらかはz^nではないので、
それをz^kとすると

a≦|z^(k+1)-z^2|=|z||z^k-z|≦|z^k-z|=a
だから
a=|z||z^k-z|=|z^k-z|=a
∴
|z|=1
だから、
∴
z^n=1

No.11 回答者： endlessriver 回答日時： 2022/03/21 08:05

本問の syotao さん #10で完了しているのに、みんな無視する意図は何。

https://oshiete.goo.ne.jp/qa/12848342.html

にしても難問でしたぁ・・・。解けるようで解けないような。

No.10 回答者： Tacosan 回答日時： 2022/03/21 06:13

ふと思ったのだが.... 背理法は不要だよね? 少なくとも #6 のストーリーで背理法を持ち出す意味が思い付かない.

No.9 回答者： ありものがたり 回答日時： 2022/03/21 04:27

おお、質問者にはできなかった証明を

No.6 がやりとげましたね。 素晴らしい。

この回答へのお礼

手取り足取り説明してもらわないと理解できない人もいるんですねぇ…。

きっと簡単な質問文すらまともに読めないんでしょうね(笑)

お礼日時：2022/03/31 22:10

No.8 回答者： endlessriver 回答日時： 2022/03/20 23:34

残念です・・・・

No.7 回答者： endlessriver 回答日時： 2022/03/20 22:38

#6さんへ

なぜに「1/z,1/z^2,1/z^3,…,1/z^nも正n角形」ですか?

この回答へのお礼

1/z,1/z^2,1/z^3,…,1/z^nは、z,z^2,z^3,…,z^nの逆数をとったもの、ではなく、z,z^2,z^3,…,z^nに複素数1/z^(n+1)をかけたものと考えます。

複素数をかけるということは原点まわりの回転と拡大ということになるのでは？

お礼日時：2022/03/20 23:25