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pを実数とし、f(x)=x^2+2x+pとおく。xの方程式f(x)=0が相異なる2つの実数解を持ち、かつxの方程式f(f(x))=0が重解x=qをもつときp,qの値を求めよ

という問題があり、答えはp=(-1±√5)/2, q=-1なのですが、なぜそうなるのかが分かりません

どなたか教えていただければありがたいです。

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A 回答 (5件)

pを実数とし、f(x)=x^2+2x+pとおく。


xの方程式
f(x)=0
x^2+2x+p=0
(x+1)^2=1-p
が相異なる2つの実数解を持つから
D/4=1-p>0
かつxの方程式
f(f(x))=0
f(x)=x^2+2x+p
{f(x)}^2+2f(x)+p=0
(f(x)+1)^2=1-p>0
f(x)=-1±√(1-p)
x^2+2x+p=-1±√(1-p)
x^2+2x+1=-p±√(1-p)
(x+1)^2=-p±√(1-p)

p<(-1-√5)/2の時
0<-p-√(1-p)<-p+√(1-p)
だから
相異なる4つの実数解
-1-√{-p+√(1-p)}<-1-√{-p-√(1-p)}<-1+√{-p-√(1-p)}<-1+√{-p+√(1-p)}
を持つ

p=(-1-√5)/2の時
0=-p-√(1-p)<-p+√(1-p)
だから
相異なる2つの実数解と1つの重解(q=-1)
-1-√{-p+√(1-p)}<-1-√{-p-√(1-p)}=-1=-1+√{-p-√(1-p)}<-1+√{-p+√(1-p)}
を持つ

(-1-√5)/2<p<(-1+√5)/2の時
-p-√(1-p)<0<-p+√(1-p)
だから
相異なる2つの実数解
-1-√{-p+√(1-p)}<-1+√{-p+√(1-p)}
と2つの虚数解
を持つ

p=(1+√5)/2の時
-p-√(1-p)<-p+√(1-p)=0
だから
1つの重解(q=-1)
-1-√{-p+√(1-p)}=-1=-1+√{-p+√(1-p)}
と2つの虚数解
を持つ

(-1+√5)/2<p<1の時
実数解は無い
4つの虚数解を持つ

だから

重解x=qをもつとき

p=(-1±√5)/2
q=-1
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> f(f(x))=0が重解x=qをもつので、


> x²+2x+p-α=0 か、x²+2x+p-β=0 が重解x=qをもちます。

だから、そうじゃないって。 No.2 参照。
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f(x)=x²+2x+p


f(x)=0 の実数解をα、β(α≠β)とすると、
f(x)=(x-α)(x-β)
α+β=-2…①
αβ=p…②
また、
D/4=1-p>0 より、p<1…③

f(f(x))={(x-α)(x-β)-α}{(x-α)(x-β)-β}
=(x²+2x+p-α)(x²+2x+p-β)

f(f(x))=0が重解x=qをもつので、
x²+2x+p-α=0 か、x²+2x+p-β=0 が重解x=qをもちます。
x²+2x+p-α=0 が重解x=qをもつとすると、
D/4=1-(p-α)=0 …⓸
このとき、x²+2x+1=0 より、重解x=-1 になるので、q=-1

⓸より、
α=p-1…⓸’
①より、
β=-2-α=-2-(p-1)=-p-1…①’
①’、⓸’を②に代入
(p-1)(-p-1)=p
p²+p-1=0
p=(-1±√5)/2
③を満たしています。
x²+2x+p-β=0 が重解x=qをもつときも同様です。

※ x²+2x+p-α=0 と x²+2x+p-β=0 がそれぞれ解x=qをもつとすると、
q²+2q+p-α=0
q²+2q+p-β=0
これより、
α=β
条件より、α≠β なので不適です。
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y = f(x) が重解を持つとは限らない。


そうなる場合と、
f(y) = 0 の2つの解 y = y₁, y₂ に対して
y₁ = f(x), y₂ = f(x) が共通解を持つ場合とがある。
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[1] f(x) = 0が2つの実数解を持つとは


  p < 1
ということ。

[2]
  f(f(x)) = 0

  f(y) = 0
  y = f(x)
という連立方程式だと思えばよし。連立方程式の1本目の式は単独で解けて
  y = -1±√(1-p)
となる。さて連立方程式の2本目の式が重解qを持つのだから、
  x^2+2x+(p-y) = 0
の判別式Dは0であり、そして(pともyとも無関係に)その重解qが決まる。

[3] 判別式Dが0だというのは具体的には
  1 - p + y = 0
ということなので、結局
  y = -1±√(1-p)
  p = 1 + y
という連立方程式が得られた。yを消去して
  p = ±√(1-p)
すなわち
  p^2 + p - 1 = 0
これを解いて二つの解が得られる。ただし
  p < 1
でなくてはならんという条件がついているので確認を要す。
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