e1=(4/5,3/5) e2=(-3/5,4/5)の基底ベクトルに関して、 なぜ内積の計算ではない

e1=(4/5,3/5)
e2=(-3/5,4/5)の基底ベクトルに関して、

なぜ内積の計算ではない(三平方の定理)
(e1,e1)=(4/5)^2+(3/5)^2=1
(e2,e2)=(3/5)^2+(4/5)^2=1
(e1,e2)=(-3/5)(4/5)+(3/5)(4/5)=0
によって
{e1,e2}は正規直交基底と言えるのでしょうか？

基底ベクトルが正規直交基底かどうかを判断するには内積の計算をすると思うのですが、仮にe1とe2をそれぞれ内積したとしてそれぞれ1になるのでしょうか？

どうかよろしくお願い致します。

質問者からの補足コメント

• ちなみに、(f(x),g(x))= (1/π)(∫[ーπ, π){f(x)・g(x)}dx)と(a,b)=a1b1+a2b2は式の形が違うだけで同じ式なのでしょうか？
  
  だとしたら、(f(x),g(x))= (1/π)(∫[ーπ, π){f(x)・g(x)}dx)から(a,b)=a1b1+a2b2を導くまでを教えて頂けないでしょうか。

    補足日時：2022/03/22 13:09

No.4 回答者： tknakamuri 回答日時： 2022/03/22 15:25

>(f(x),g(x))= (1/π)(∫[ーπ, π){f(x)・g(x)}dx)から

>(a,b)=a1b1+a2b2を導くまでを教えて頂けないでしょうか。

どちらも内積だけど、異なる内積
互に導いたり出来ない。

No.3 回答者： tknakamuri 回答日時： 2022/03/22 15:20

>なぜ内積の計算ではない(三平方の定理)

>(e1,e1)=(4/5)^2+(3/5)^2=1
>(e2,e2)=(3/5)^2+(4/5)^2=1
>(e1,e2)=(-3/5)(4/5)+(3/5)(4/5)=0

全部内積

No.2 回答者： mtrajcp 回答日時： 2022/03/22 13:40

(f(x),g(x))= (1/π)(∫[-π, π){f(x)・g(x)}dx)

ではなく
(f,g)= (1/π)(∫[-π, π)f(x)g(x)dx)
だけれども

(f,g)= (1/π)(∫[-π, π)f(x)g(x)dx)
は
関数空間C[-π,π]
の内積の定義です

a=(a1,a2)
b=(b1,b2)
(a,b)=a1b1+a2b2
は
R^2=(2次元実数空間)
の内積の定義です

{
e1=(4/5,3/5)
,
e2=(-3/5,4/5)
}
は
R^2=(2次元実数空間)
の
基底
であって
関数空間C[-π,π]
の
基底ではありません
なので
R^2=(2次元実数空間)
の内積
を使わなければいけません

空間が違えば内積の定義は違うのです
混同しないで下さい

No.1 回答者： mtrajcp 回答日時： 2022/03/22 11:30

a=(a1,a2)

と
b=(b1,b2)
の
内積は

(a,b)=a1b1+a2b2

です

e1=(4/5,3/5)
と
e1=(4/5,3/5)
の
内積は

(e1,e1)=(4/5)(4/5)+(3/5)(3/5)=1
(e1,e1)=(4/5)^2+(3/5)^2=1

です

e2=(-3/5,4/5)
と
e2=(-3/5,4/5)
の
内積は

(e2,e2)=(-3/5)(-3/5)+(4/5)(4/5)=1
(e2,e2)=(3/5)^2+(4/5)^2=1

です

この回答へのお礼

ありがとうございます。
以前(f(x),g(x))= (1/π)(∫[ーπ, π){f(x)・g(x)}dx)の式を使っていたと思うのですが、(a,b)=a1b1+a2b2の式でも良いというわけでしょうか？
また、質問に(三平方の定理)と書いたのは間違いでした。申し訳ありません。

お礼日時：2022/03/22 13:07