高校数学 十分性の確認について。 問 異なる正の数字 a,b,cについて、1/a,2/b,1/cがこ

高校数学　十分性の確認について。

問

異なる正の数字　a,b,cについて、1/a,2/b,1/cがこの順で等比数列をなし、さらに、a,b,3cがこの順で等差数列をなすときa/cの値を求めよ



解

1/a,2/b,1/cがこの順で等比数列をなすとき、
b^2=4ac ー①

a,b,3cがこの順で等差数列をなすとき、
b=1/2(3c+a) ー②

①、②を足す実数bが存在するための条件から、
　｛1/2(3c+a)｝^2=4ac
　∴(9c-a)(c-a)=0
となるが、a,b,cは相異なるー③ものであるから、
　9c=a ー④
である。逆にこのとき、②、④より
　b=6c
となり、
（a,b,c）=（9c,6c,c）
これと、c≠0とから、確かに③をみたす。
以上より④から、
　a/c=9


この解では、最後に十分性の確認をしていますが、
必要十分な言い換えのように思ったのですが、
十分性はどの段階で失われていますか？





また、十分性の確認を忘れて、失点することが多いのですが、必要条件にしかなっていないところはどのようにすれば、見つけられるようになるものですか？

No.4 ベストアンサー 回答者： masterkoto 回答日時： 2022/03/22 17:00

まだ解決しませんか

「b^2=4ac ー①
b=1/2(3c+a) ー②
これらの2式が表すa,b,cの組は
（a,b,c）=（0,0,0),(9,6,1),(1,2,1)などなど無数
そこで、代表させて
（a,b,c）=（9c,6c,c）または(c,2c,c)」
などと表すことにすると
たとえば、これは別の問題
「2a,b,2cがこの順で等比数列をなし、さらに、a,b,3cがこの順で等差数列をなすとき、　a,b,cの組み合わせを全て求めよ
(a,b,cは正負、０は不問、一致するかどうかも不問）」
という解答の途中式と結論にもなりえますよね

ゆえに①②式を解いて
(a,b,cが異なるならば)
（a,b,c）=（9c,6c,c）としたのでは
ご質問の出題の条件(a,b,cは正）は考慮されていないことになります
でも、　a,b,c が異なるためには(c,2c,c)の組では一目だめで
少なくとも（9c,6c,c）でなければいけないことは間違いではありませんよね

ということで、
この組(9c,6c,c)にはまだ(0,0,0)をも含んでいます
ゆえに、
(9c,6c,c)⊃題意の条件にあう組
（題意の条件にあう組→(9c,6c,c)）
と言う状態です
すなわち(9c,6c,c)は題意を満たす組であるための必要条件
これを　同値にするためには　c=0が加わらないとだめ
そこで、必要から十分への確認を入れています
確認が入れば
題意の条件にあう組⇔(9c,6c,c)
で必要十分ですよね

なお、その見分けが難しいなら
問題のパターン暗鬼に頼るのも一つでしょうね
このパターンでは　十分の確認が必要　と覚えておくのです

この回答へのお礼

ありがとうございます。

お礼日時：2022/03/23 11:27

No.5 回答者： masterkoto 回答日時： 2022/03/22 18:00

もう、今日は返信できないかもですので

端的に
a.b.cは相異なる物であるから
9c=a
を選択したところが必要条件であり
必要十分ではないと言う事です
その理由は
マスターコトーの他の解説参照願います

No.3 回答者： stomachman 回答日時： 2022/03/22 14:39

問題には「1/a, 2/b, 1/cが数列」という前提の中に、暗黙裏に

　　a≠0 ∧ b≠0 ∧ c≠0
という条件が含まれています。さらに、
　　a≠b ∧ b≠c ∧ c≠a
であるという条件があからさまに課されている。すなわち、これらを満たさないものは問題の解ではない。

　一方、連立方程式を解いて得られる答は
　　c=0 ∨ a/c=1 ∨ a/c = 9
であり、だから「問題の解がもし存在するなら、その解はこの命題を満たす」ということです。

　つまり、もとの問題を
「集合
　　{ x | x=a/c ∧ (a≠0 ∧ b≠0 ∧ c≠0 ∧ a≠b ∧ b≠c ∧ c≠a ∧ (c=0 ∨ a/c=1 ∨ a/c=9))}
を求む」
に書き換えたというわけです。

　すると、「必要性」だの「十分性」だの、そんな用語は重要ですかね？

この回答へのお礼

ありがとうございます。

お礼日時：2022/03/23 11:23

No.2 回答者： masterkoto 回答日時： 2022/03/22 14:09

①②式だけを見せられた場合

c=0の可能性もあります
それらを用いて得られた結果にも　c=0の可能性がのこります
a,b,cがあいことなる数字であるためには
（a,b,c）=（9c,6c,c）であることは必要条件
これに　c=0が加わって十分

No.1 回答者： endlessriver 回答日時： 2022/03/22 13:51

今回は a,b,c>0 かつ a≠c という条件があるので

2a/b=b/2c , b-a=3c-b
⇔ b²=4ac , b=(3c+a)/2
⇔ (9c-a)(c-a)=0
⇔ a/c=9

です。

この回答へのお礼

ありがとうございます。

お礼日時：2022/03/23 11:24