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lim[n→∞] n! {1-log(Σ[k=0→n]1/k!)}
はどうやって求めるのでしょうか?

A 回答 (5件)

たびたび、すみません。



 e=Σ[k=0→n]1/k!+(e^θ)/(n+1)! (0<θ<1)
でした。
ただ、以降の議論は同様です。

 n! {1-log(Σ[k=0→n]1/k!)=n!{-log(1-(e^θ)/e(n+1)!)}
   ≦n!2e^θ/e(n+1)!<2/(n+1) → 0
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この回答へのお礼

ありがとう

ありがとうございます。
マクローリン展開の正しい形はこうなるのですね。
とても参考になりました。

お礼日時:2022/03/26 18:04

つづき


Σ[k=0→n]1/k!)>e-2/(n+1)!
logΣ[k=0→n]1/k!)>log{e-2/(n+1)!}=1+log{1-2/e(n+1)!}
1-logΣ[k=0→n]1/k!)<-log{1-2/e(n+1)!}
n! {1-log(Σ[k=0→n]1/k!)}<-n! log{1-2/e(n+1)!}
ここでn!=(n+1)!/(n+1)とすれば上の右辺は
1/(n+1)と(1/h)log(1+1/h)の積の形になる
ただしh=-2/e(n+1)!
ゆえにn→∞のときh→0 (1/h)log(1+1/h)→1 1/(n+1)→0だから
表題の数列は0二収束します。
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問題はeとΣ[k=0→n]1/k!)の誤差が1/(n+1)!の程度に


なることが示せればよいですね。
e-Σ[k=0→n]1/k!)={1/(n+1)!}{(1+1/(n+2)+1/ん+2)(n+3)+・・・}<{1/(n+1)!}{1+1/2+(1/2)^2+・・・}=2/(n+1)!
になります。
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誤りました。

失礼しました。

0≦x<1/2のとき
 f=2x+log(1-x) ≧0・・・・①
を示す。
 f'=2-1/(1-x)≧0
だから、fは単調増加で、f(0)=0 だから f≧0 となり、①が成立。
すると
 2x≧-log(1-x)

ここで、x=θⁿ/e(n+1)! とすると、
 n! {1-log(Σ[k=0→n]1/k!)=n!{-log(1-θⁿ/e(n+1)!)}
  ≦n!2θⁿ/e(n+1)!<2/e(n+1) → 0
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この回答へのお礼

助かりました

ありがとうございました。
理解出来ました。

お礼日時:2022/03/26 18:04

e=Σ[k=0→n]1/k!+θⁿ/(n+1)! (0<θ<1)



1-log(Σ[k=0→n]1/k!)=log{(e-θⁿ/(n+1)!)/e}
 =log{(1-θⁿ/e(n+1)!)}≦θⁿ/e(n+1)!<1/e(n+1)!

n! {1-log(Σ[k=0→n]1/k!)}<n!/e(n+1)!=1/e(n+1) → 0
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この回答へのお礼

うーん・・・

1-log(Σ[k=0→n]1/k!)
= - (log(Σ[k=0→n]1/k!) -1)
= - (log(Σ[k=0→n]1/k!) -loge)
= - log{(Σ[k=0→n]1/k!)/e}
= - log{(e-θⁿ/(n+1)!)/e}
= - log{(1-θⁿ/e(n+1)!)}
≧ θⁿ/e(n+1)!

となりませんか?

お礼日時:2022/03/26 15:02

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