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素朴な疑問について

級数展開で、たとえば三角関数が、
a0+a1x+a2x^2+a3x^3+...
と、
多項式で表すことができるというのはどうやてわかりましたか?

教えて!goo グレード

A 回答 (8件)

失礼しました。


f(x)=exp(-1/x) , x>0
  =0 (x≦0)
でした。
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この回答へのお礼

助かりました

ありがとうございます

お礼日時:2022/03/29 16:58

ちなみに、除去可能な特異点であってもできない場合がある。



有名な例で
f(x)=exp(-1/x) , x>0
  =0 (x=0)

この場合は 剰余項 → 0 とならない。f^(n)(0)=0 なので。
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3角関数


cosec(x)=1/sin(x)

x=0で定義できないので
a0+a1x+a2x^2+a3x^3+...
と、
表すことができません

関数f(x)が
f(x)=a0+a1x+a2x^2+a3x^3+...
と、
表すことができるためには
f(x)がx=0で無限回微分可能で

f(0)=a0
f'(0)=a1
f"(0)=2a2
f"'(0)=6a3

f^(n)(0)=n!a(n)

となる事が必要なのです
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この回答へのお礼

助かりました

ありがとうございます

お礼日時:2022/03/29 16:58

3角関数


cosec(x)=1/sin(x)

x=0で定義できないので
a0+a1x+a2x^2+a3x^3+...
と、
表すことができません
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この回答へのお礼

ありがとう

ありがとうございます

お礼日時:2022/03/29 16:58
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この回答へのお礼

ありがとう

ありがとうございます

お礼日時:2022/03/29 16:57

収束性を無視して形式的にいえば


x=0 が (除去不可能な) 特異点ではない
ことが根拠.

逆にいうと「三角関数」だろうとなんだろうと x=0 が除去不可能な特異点であればそのようには書けない. 具体的には cot x とか.
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この回答へのお礼

うーん・・・

ごめんなさい。あまりわかりません

お礼日時:2022/03/29 16:56

a0+a1x+a2x^2+a3x^3+...


が多項式かよくわからないが。

マクローリン展開
 f(x)=f(0)+f'(0)x/1!+f''(0)x²/2!+…+f⁽ⁿ⁾(0)xⁿ⁻¹/(n-1)!
    +f⁽ⁿ⁾(θx)xⁿ/n!
 (0<θ<1)
において
 |f⁽ⁿ⁾(θx)xⁿ/n!| → 0 (n → ∞)・・・・①
が成り立てば、命題が言える。

とある定理により、
 ∀n,  |f⁽ⁿ⁾(x)|≦CMⁿ
ならば、マクローリン展開できる。・・・・②

f(x)=sinx のときは |f⁽ⁿ⁾(x)|≦1 なので②が言える。
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多分これかな?


オイラーの公式|三角関数・複素指数関数・虚数が等式として集約されるまでの物語
https://club.informatix.co.jp/?p=3060
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この回答へのお礼

ありがとう

ありがとうございます

お礼日時:2022/03/29 16:56

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