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sin‪α‬とsinβの大小関係をみるときに
グラフを書く以外に確かめる方法はありますか?

「sin‪α‬とsinβの大小関係をみると」の質問画像
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A 回答 (6件)

sinx=± 1/√(k²+1) (0<x<2π)


sinα と sinβ は一方が正で、もう一方が負です。

0<x<π のとき、sinx>0
π<x<2π のとき、sinx<0
なので、
α と β は一方が0と π の間で、もう一方が π と 2π の間です。

ところで、α<β なので、
0<α<π、π<β<2π
となります。

よって、
sinα=1/√(k²+1)
sinβ=-1/√(k²+1)
です。
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>グラフを書く以外に確かめる方法はありますか?



一般的には sinα-sinβ の 正負 で判断します。
画像が 私のPCでは 良く見えませんが、
α, β の値によっては、場合分けが必要かも。
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曲線C1:y=ksinx(0<x<2π)


曲線C2:y=cosx(0<x<2π)
k>0
(1)
C1,C2の2交点のx座標α,βは方程式
ksinx=cosx…①の解であるから
↓両辺を2乗すると
k^2(sinx)^2=(cosx)^2
↓両辺に(sinx)^2を加えると
(1+k^2)(sinx)^2=1
↓両辺を1+k^2でわると
(sinx)^2=1/(1+k^2)>0

sinx=±1/√(1+k^2)

sinx=1/√(1+k^2)>0の時
cosx=k/√(1+k^2)>0
↓0<x<2πだから
0<x<π/2だから
(0<α<π/2)or(0<β<π/2)

sinx=-1/√(1+k^2)<0の時
cosx=-k/√(1+k^2)<0
↓0<x<2πだから
π<x<3π/2
(π<α<3π/2)or(π<β<3π/2)

(α<β)&{(0<α<π/2)or(0<β<π/2)}&{(π<α<3π/2)or(π<β<3π/2)}
=
(0<α<π/2)&(π<β<3π/2)
だから

sinα>0>sinβ
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y=ksinx は、「y=sinx の振幅をk倍」


しただけなので、グラフ書けてもいい
と思いますよ。(汗)
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ちょっと面倒ですが、「和積変換の公式」


sin どうしなら
 sinA - sinB = 2cos[(A + B)/2]sin[(A - B)/2]   ①
cos どうしなら
 cosA - cosB = -2sin[(A + B)/2]sin[(A - B)/2]
を使って、右辺の「正負」を確認すればよいです。

①で右辺が正なら
 sinA > sinB
右辺が負なら
 sinA < sinB
です、
cos, sin の正負は「(A + B)/2」「(A - B)/2」の範囲で判定できます。
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>グラフを書く以外に確かめる方法はありますか?


差を求めて、符号を調べる
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