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数学
logの底はなぜ正なのですか?

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A 回答 (5件)

>>LOGって負になったらいけないんですか?



log自体は負でも有り、log₁₀(1/1000)=-3だよ。

底は正。何故?定義だよ定義。
log₋₁₀(1/1000)は幾つになる?

1/1000=(-10)ⁿのnはドーヤッテ求めるの?
nは存在しないよ・・・。
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この回答へのお礼

助かりました

分かりました!!
本当にありがとうございます!

お礼日時:2022/04/01 19:36

a>0,a≠1として、


y=ax
で表される関数を、指数関数という。

このとき、aを底という。

この定義だと、
aの値が0.〜
aの値が1より大きい数
の2通りが考えられますが、

・aの値が負
・aの値が0
・aの値が1
の場合は、指数関数として考えないと言っています。

そもそもなんでこんな定義になっているの?
結論から言ってしまうと、そのほうが『人間の感覚にマッチした数学的に都合がいいから』です。

では指数法則をもとに、指数関数のイメージを身につけていきましょう。
【まえおき】指数法則の妥協

『ナゼ0乗が1になるのか』『ナゼ分数乗がルートになるのか』で解説した通り、高校数学から学ぶ数にはいくつかの妥協が存在します。

その妥協とは、結局のところ、3つの指数法則

ax×ay=ax+y  Xは乗
(ax)y=axy   Xは乗
(xy)n=xnyn   nは乗
を満たすように定義したため、必要になったのでした。

指数関数が定義できる底の条件

では指数関数が定義できる底の条件と、そのときのグラフについて解説します。
『どんな数xに対しても、対応するyの値が存在するかどうか』に着目してみましょう。

0<a<1
例として
y=(1/2)x xは乗
をみてみましょう。

このとき、実数の指数法則を考えると、どんな実数をxに当てはめても、必ず対応するyの値が存在することがわかります。

実際グラフを見てみると、図のような連続な曲線を描いています。
aの値が0.〜のとき
底が小数の時の指数関数
https://high-mathematics.com/wp-content/uploads/ …

1<a
例として
y=2x   xは乗
をみてみましょう。

実数の指数法則を考えれば、どんな実数をxに当てはめても、必ず対応するyの値が存在することがわかります。

グラフは先ほどと同様に連続的な曲線ですが、0<a<1の場合のグラフとはy軸対象になっていることが特徴です。

aの値が1より大きいとき
底が1よりも大きい指数関数
https://high-mathematics.com/wp-content/uploads/ …

指数関数が定義できてない底の条件

ではここからは、なぜ

・aの値が負
・aの値が0
・aの値が1
の場合は、指数関数として考えないのか、を調べていきましょう。

前提として、関数への理解が必要になります。
関数って何ですか?と聞かれて説明できない方はぜひ復習しておいて下さい。

aが負のとき定義しない理由

ここでは、指数関数y=axの底aが負の数、つまりa<0でもOKだとしてみます。

例として、y=(−2)xのときを考えてみましょう。xは乗



例えば、xが有理数x=m/nのときを調べると、

y=(−2)m/n=n√(−2)m  mは乗
となりますね。

具体的にn=2,m=1のときを考えると、y=√−2となり考えることができません。


平方根√kは、必ずk≧0であるという定義だったね。
なるほど、だからa<0のとき、有理数におけるy=axを考えることができないんだね。 xは乗

ただし、xが整数のときだけ考えることができます。

例えばx=3のとき、y=(−2)x=−8のように。xは乗
でもグラフを調べてみると。。。

aが負のとき
https://high-mathematics.com/wp-content/uploads/ …


一応わかりやすいように点線で結んでるけど、実際は(有理数のとき存在しないため)連続じゃないから点線も怪しいよ。

グラフを見てみるとどうでしょう。非連続だし、形は複雑だし・・・。
そもそも連続的なxを考えている座標上では、xが整数のときしかとらない非連続的な関数なんて、扱いにくくて仕方ありません。

そこで、

ポイント
めんどくさいし価値もあまりないので、a<0のときは考えないものとしました。

メモ
文章に少し怪しさを感じたあなたは、とても理系脳です。
実は有理数のとき、複素数まで拡張すれば指数関数をもっと幅広く定義することはできます。
ただしそれは大学数学の『複素関数』にまたがってしまうので、とりあえずは・・・。

aが0のとき定義しない理由

ここでは、指数関数y=axの底aが、a=0でもOKだとしてみます。
例として、y=0xのときを考えてみましょう。xは乗

すると、x=−1のときy=0−1=1/0となるため、xは整数の世界ですら考えることができなくなるのです。-1は乗

小春
分母が0は数学では考えられなかったね。

つまり、y=0xはxが正のときだけ考えることができ、グラフはこのようになります。

aが0のとき
底が0の指数関数
https://high-mathematics.com/wp-content/uploads/ …

グラフから、以下の性質がわかります。

・ずーっと0
・負のときは考えらんない
・x=0のときは1とする立場とそうでない立場がある
・直線なので、一次関数っぽい


・・・くそダルっ(ボソ)
口悪っ!?


まぁ、そのくらいめんどくさいので、定義から外そうって話よ。

ポイント
めんどくさいし価値もあまりないので、a=0のときは考えないものとしました。



またa≠0とすることで、『指数関数は曲線だね』とまとめることもできるので、何かと都合がよろしいのです。

aが1のとき定義しない理由
ここでは、指数関数y=axの底aが、a=1でもOKだとしてみます。

例として、y=1xのときを考えてみましょう。
すると、どんな実数xを当てはめても、対応するyの値が存在しますね。


小春
x=−1のとき、y=1だし、x=0のとき、y=1だし・・・。
しかもx=1/2のとき、y=1だね。

以上のことから、y=axはxいつでも考えることができ、グラフはこのようになります。xは乗

aが1のとき
底が1の時の指数関数
https://high-mathematics.com/wp-content/uploads/ …

ずーーーーっと、1。

しかも直線です。

これを指数関数としてみなしても、あまり価値がありません。



これを無理やり指数関数として考えることもできるけど、「指数関数は曲線だ!」って統一して言える方がよっぽど価値あるんだよね。


ポイント
指数関数は曲線を描くと言いたいので、a=1のときは考えないものとしました。

以上、これまでみてきたように指数関数が0<x<1,1<xの場合でしか定義されていない理由は、結局

・めんどくさい
・「グラフは曲線を描く」と言いたい
という、気持ちが込められているからなんですね。
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対数の定義なんです。

底が負の場合は対数と言わない。
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a を底とする真数 N の対数を


  k = log_a(N)
と表す。たとえば N = 5、a = -1 < 0 であれば、
  k = log_(-1)(5) ⇔ (-1)^k = 5
を満たす k が存在しなければならない。それじゃ困るだろ。
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この回答へのお礼

ありがとう

ありがとうございます!
マイナス2の2乗が4になる、という場合でもダメなのでしょうか…?

お礼日時:2022/04/01 17:59

指数の逆演算だから、底が負だと不連続かつ虚数を含む関数になってしまうと言う不都合が生じるから、正と定めた。



aⁿ=bで、aを底、nを指数(と言う)
この逆が、logₐb=n

aⁿ=bでa=-2だったら、nが偶数・奇数でbが正負に行ったり来たりしてしまう。
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この回答へのお礼

ありがとうございます!
LOGって負になったらいけないんですか?
基礎ですみません。

お礼日時:2022/04/01 17:55

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