xy平面における曲線y=e^x上の任意の相異なる2点における法線の交点が存在する範囲はどのようなもの

Question

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xy平面における曲線y=e^x上の任意の相異なる2点における法線の交点が存在する範囲はどのようなもの

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質問者：ma-kun....love....
質問日時：2022/04/03 15:03
回答数：7件

endlessriver · Accepted Answer

再訂正　m(_ _)m

図1は a<-0.346、図2は a>-0.346 の端点の軌跡。すると図１の
接線は a>-0.346、図２の接線は、a<-0.346 なので、図4はつぎ
のように変更になる。

領域は変わらないが、境界は除かれる。

endlessriver · Answer

#6について。「相異なる2点・・・」と書いてありました。m(_ _)m

endlessriver · Answer

a=b のとき、交点は無いと考えたが、無数にあるとは考えられない
だろうか?　すると領域は全空間になるが、如何???

なお、④式とその上の計算が誤っていたが、結論は変わらないので
放置。

endlessriver · Answer

訂正。境界は包絡線の含まれるので、境界も範囲に含まれる。
ただし、とんがりの特異点はは除く。

endlessriver · Answer

1.
法線の傾きは -e^(-x) だから、x=a,b の法線は
　y=-e^(-a)(x-a)+e^a , y=-e^(-b)(x-b)+e^b・・・・・①
その交点は
　x={ae^(-a)-be^(-b)}/{e^(-a)-e^(-b)}
　　　+{e^a-e^b}/{e^(-a)-e^(-b)}
　　=a+(a-b)e^(-b)/{e^(-a)-e^(-b)}-e^(a+b)・・・・・②

y=-e^(-a)[(a-b)e^(-b)/{e^(-a)-e^(-b)}-e^(a+b)]+e^a
　　=-(a-b)e^(-a-b)/{e^(-a)-e^(-b)}+e^a+e^b・・・・③

この x,yの領域を調べればよい。
aを固定して、bを変化させたときを考える。すると
　x → -∞、y → +∞　(b → ±∞) 
となり、x,y とも極値を持つ。そして、この領域は e^xの上側にあり、
法線の傾きは負だから、法線の下側で端点がある。それは、xの極大、
yの極小になるから、②③を微分して
　dx/db=-e^(-b)/{e^(-a)-e^(-b)}
　　　　　+(a-b)[ -e^(-b)/{e^(-a)-e^(-b)}
　　　　　　　　　　+e^(-b)(-1)e^(-b)/{e^(-a)-e^(-b)}² ]=0

両辺を -e^(-b)/{e^(-a)-e^(-b)} で割って
　1+(a-b)[ 1+e^(-b)/{e^(-a)-e^(-b)} ]=0・・・・・④

dy/db=e^(-a-b)/{e^(-a)-e^(-b)}
　　　　　-(a-b)[ -e^(-a-b)/{e^(-a)-e^(-b)}
　　　　　　　　　　+e^(-a-b)(-1)e^(-b)/{e^(-a)-e^(-b)}² ]
　　　　　　　　　　+e^b=0

両辺を e^(-a-b)/{e^(-a)-e^(-b)} で割って
　1-(a-b)[ -1-e^(-b)/{e^(-a)-e^(-b)} ]
　　　　+{e^(-a)-e^(-b)}e^(2b+a)=0・・・・・⑤
これに④を入れると
　{e^(-a)-e^(-b)}e^(2b+a)=0 → a=b
を得る。

2.
すると②③から、法線の下部端はロピタルして
　(a-b)/{e^(-a)-e^(-b)} → -1/e^(-b)=-e^a   ( b → a)
を使うと
　x=a-1-e^(2a)   (<0)
　y=e^(-a)+2e^a (>0)・・・・・・⑥
となる。この曲線はパラメータ表示で図1,2,3になる(図１、2の
交点の詳細が不明なので拡大したものが図3)。

3.
別の観点から①の前者の包絡線を考えると①をaで微分した式は
　0=e^(-a)(x-a)+e^(-a)+e^a → x-a=-1-e^(2a)
これを①に入れると
　y=-a^(-a)(-1-e^(2a))+e^a=e^(-a)+2e^(2a)
つまり、この包絡線は⑥と一致する。

これらの曲線は右下の特異点?　で上下に分かれているが、下の
曲線の接線の最小端点が上の曲線になる。

逆に上の曲線の接線の最小端点が下の曲線になる。これを図4に
示す。

以上のことから、求める領域は上下の曲線に囲まれた部分になる
といいたいが、a=b の場合の⑥の交点は極限であり、実際は存在
しないから、この領域から淵(境界)を取り除いたものになる。

なお、特異点は 　x=a-1-e^(2a) の極値となるから
　dx/da=0 → a=-(log2)/2=-0.346
　x=-1.846, y=2.828
となる。

かなり杜撰な部分があるが概略として。

stomachman · Answer

実数×実数という直積集合の部分集合
　　C = {(x,y) | y=e^x} 
　　P = {(x,y) | y>e^x}
　　Q = {(x,y) | y≦e^x}
について、
　　∀p(p∈P ⇒  pを通りCに直交する直線は2本以上存在する)
　　∀p(p∈Q ⇒  pを通りCに直交する直線は高々1本存在する)
ということはスグ言えはしても、口にするのも憚られたら大変だから黙っておく。