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m!+n!=2^nを満たす自然数の組(m, n)を求めよ、という問題を解いてみました。
この回答だと、10点中何点取れますか?取れない場合、どこがいけないか教えていただければ助かります

「整数問題 確認」の質問画像

A 回答 (3件)

階乗はべき乗より速く大きくなることを使うと次のように示せます。



n≧4ならn!>2^nとなることを示す。
n=4のとき4!=24>16=2^4で成立
n=k(≧4)で
k!≧2^kが成立すれば両辺に(k+1)を乗じて
(k+1)k!≧(k+1)2^k
    >2*2^k
    =2^(k+1)
よって(k+1)!>2^(k+1)
n=k+1でも成立
数学的帰納法によりn≧4ならn!>2^n
したがってn≧4なら
m!+n!>n!>2^nなので
m!+n!=2^nとなるのはn≦3に限られれる
n=1のとき m!=1よりm=1
n=2のとき m!=2よりm=2
n=3のとき m!=2よりm=2
(m, n)=(1, 1), (2, 2), (2, 3)
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それでよいとは思いますが(iii)(iv)の部分は以下の方がもっとよいと思います



(iii)
n≧3かつnが奇数のとき

2!+n!=2^n
↓両辺を2で割ると
1+n!/2 = 2^(n-1)
n≧3だから右辺2^(n-1)は偶数だから左辺も偶数だから
n!/2は奇数でなければならないから
n!/2=3
∴n=3
∴(m,n)=(2,3)

(iv)
n≧4かつnが偶数のとき

1+n!=2^n
n≧4だから右辺2^nは偶数だから左辺も偶数だから
n!は奇数でなければならないから
n!が偶数である事に矛盾するから
よって
1+n!=2^nとなるnは存在しない
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(m, n)=(3, 2) は ダメでしょ。

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