関数、写像について

すみません。ものすごく引っ掛かってることがあります。

二次関数、三次関数、指数関数などは、全て実数Rから実数Rへの関数、ないし写像かと存じます。

この場合、写像の元になるxも、その像であるf(x)も、両方同じ記号Rを用いてるので、自分自身から、自分自身への対応関係かと存じます。

xの属するRもf(x)の属するRも同じ固有の実数空間（実数全体の集合）であるかと存じます。同じ記号Rだからです。
もし異なるなら、記号を区別しないといけないかと存じます。

疑問1なのですが、そもそも実数空間（実数全体の集合）とは固有の存在のように理解してるのですが、あの実数空間とこの実数空間のような異なる実数空間というのはあり得るのでしょうか？そういった場合R1、R2のような記号を区別すべきかと存じますが、どうなのでしょう？

なぜそのような疑問を抱いたかについては、ごく初頭的な複素数の関数について、
S平面からW平面への複素関数f(z)のような記述を見かけました。
zを考えてる複素平面と、f(z)が移る先の複素平面は異なるということなの？（複素平面は固有の存在ではないの？）

という、疑問を持ちました。
単に、同じ平面だけど、便宜のために異なる記号（SとW）で表してるだけなのか、それとも複素平面は固有の平面ではなく、無数に同じ構造（実部と虚部の直積空間。距離Rを無限にすると無限遠点という方向θによらず外縁部分を一つの点として区別しないで同一視するものが広がってる）のものが存在してるのか、どちらなのでしょう？ 疑問2

変な質問ですみません。

質問者からの補足コメント

• 勉強になりました。
  
  ありがとうございます。

  No.1の回答に寄せられた補足コメントです。 補足日時：2022/04/11 02:10

No.1 ベストアンサー 回答者： Tacosan 回答日時： 2022/04/11 01:34

「S平面」とか「W平面」とかいうのは, 実関数における「x軸」や「y軸」と同じようなものと考えればよいのではないかな.

「実数の集合」そのものは通常ユニークとみなしてかまわないし, その点は「複素数の集合」でも同じ.