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真偽表(真理値表)について

今日、大学の授業で真偽表(真理値表)について学習しました。(画像)(見づらかったらすみません)
∨、∧、¬は分かったのですが、
⇒、⇐、⇔の時が全然理解できません。

調べたところ、
『前提正しいなら結論も正しく、
前提間違ってんなら結論なんだっていいじゃん』
とイメージせよと出てきました。
この考え方をイメージすれば、表自体は覚えられたのですが、なぜそうなるのか?がどうしても理解できません…。

例えば、
p:△ABCのうち、∠Aは直角である
q: △ABCは直角三角形である
とした時に、
p⇒qは真だがq⇒pは偽だと思います。(反例:∠B=90°)
でも、真偽表ではp⇔qが成り立つんですよね、、?

これはどういう考え方をしているのですか…?
自分が的はずれなことを考えているのは分かるのですが、どこをどのように考えるのかが分からないのでどなたか教えていただけると嬉しいです、、。
ついでに、pとqの命題変数(?)の例も載せていただけると幸いです。。

「真偽表(真理値表)について 今日、大学の」の質問画像
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A 回答 (5件)

[1] はて?どこをどう見れば



> でも、真偽表ではp⇔qが成り立つんですよね、、?

なんて話になる?さっぱり分かりません。

[2] それはさておき、「命題論理」という体系についての話だとしますと、「前提」だの「結論」だの、余計な用語を持ち込んだら混乱するだけです。
● p⇒q は (¬p)∨q の略記法。(¬(p∧(¬q))の略記法と思っても同じ。)
● p⇐q なんて普通は書かないが、もし書いてあったら q⇒p の別記法。
● p⇔q は (p∧q)∨((¬p)∧(¬q))の略記法。(((p⇒q)∧(q⇒p))の略記法と思っても同じ。)
単にそれだけです。「前提」だの「結論」だの、そんなもんありません。

[3] ただ、ひとつ注意点として:
● 原子命題 それぞれの真偽値が決まっているとき、論理式の真偽値は(真偽表で)決まる。
という話と、
● 原子命題 それぞれに真か偽かを割り当てる全ての組み合わせ方(原子命題がn個含まれていれば、当然、2^n通りあります)について、論理式が
 a どの組み合わせでも真になる(恒真式)
 b どの組み合わせでも偽になる(恒偽式)
 c 組み合わせによって真になったり偽になったりする。
のどれかに分類される、という話(どっちの話も重要です)を区別する必要がある。

[4] ところで、

> p:△ABCのうち、∠Aは直角である
> q: △ABCは直角三角形である

どっちも命題とは言えない。たとえばpを見ると、そこには(さりげなくですが)「A,B,Cは三角形になっている」という主張も含まれている。なので、¬pがどういう意味なのか、ニホンゴで説明しようと試みればたちまち一筋縄では行かないことに気付くはず。幾何学の知識をいろいろ持ち出してこなくちゃどうにもならんでしょう。さらにその話はqと無関係ではない。(たとえば∠A, ∠B, ∠Cのうち二つ以上が直角であれば、それは三角形ではない。)要するに、pはそれ単独で意味が決まる文言ではなく、こんなもん命題とは言えない。
 というわけで、論理で扱える形になっていないものを、論理演算の例題として取り上げるのは単に不適切。例に取り上げた話が複雑過ぎて、キチンと整理しきれていない、というだけのことですが。
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真理値を考えているのだから、今扱っているのは命題論理の話。


つまり、p,q 単独で真偽が決まる場合の話。
したがって、
>p:△ABCのうち、∠Aは直角である
の真偽が決まるということは、△ABCはなにか1つ決まった特定の三角形の話。
>q: △ABCは直角三角形である
についても同様。

なにか1つ決まった△ABC(例えば、今適当に書いた三角形)についてなら、pやqの真偽は決まるし、それが決まれば p⇒q, q⇒p, p⇔q の真偽も決まることに何の不思議もない。
たまたま、p⇒q は△ABCがどんな三角形であっても真であり、q⇒p が真か偽かは、△ABCが与えられないことにはわからないけど、それで問題ない。

なのに、困ったことに、高校ではp⇒qという書き方をすると、p,q が条件の場合に話をすりかえてくる。その結果、
> q⇒pは偽だと思います
という部分では、p,qが命題ではなく、△ABCに関する条件(論理学では述語とか命題関数という)になっているのに気づかない。
つまり、「> q⇒pは偽」というのは、正確には、
「すべての△ABCについて『q(△ABC)⇒p(△ABC)』」という命題が偽
という意味であって、p,qが命題の場合ではない。

命題論理を学んでいる時は、p,qが命題関数(条件)ではなく、命題の場合である、ということを意識するようにしましょう。
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No.2 修正


>真理表は論理式が
>p⇒q = p∨¬q

真理表は論理式が
p⇒q = ¬p∨q

ですね。ボケてました。
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真理表は論理式が


p⇒q = p∨¬q
p⇔q = (p∧q)∨(¬p∧¬q)

となることを表しているだけ。

>p⇒qは真だがq⇒pは偽だと思います。

これは p⇒q という命題が
「任意の(あらゆる)三角形」に対して常に真
q⇒p という命題が
「任意の(あらゆる)三角形」に対して常に真
というわけではない(偽になるケース(反例)が存在する)

という意味で真偽を使っているのでしょう。

命題が真であることと、命題が「常に」真であることは
意味がまるで違うので言葉に注意した方がよいです。

後者は全称命題と呼ぶこともありますが、全称記号を使って
表すのが最も数学的です。

全称命題 p⇔q が真というのはあらゆる三角形に対して
(p∧q)∨(¬p∧¬q) が常に真であること。
三角形ABC が直角三角形でも、角Aは直角
とは限りませんから
p=偽、q=真 のケースが存在します。
するとそのケースでは (p∧q)∨(¬p∧¬q)は偽になりますから
全称命題 p⇔q  は偽ということになります。

大学だと記号論理学の講義で、∀ をいう記号を習う
と思います。今の高校だとこの辺どう教えているか
把握してないです。
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p:△ABCのうち、∠Aは直角


q: △ABCは直角三角形である
とした時に、

(反例:∠B=90°∠A=30°∠C=60°)
のように
qが真
pは偽
であるものが存在するから

q⇒pは偽
p⇔qは偽
「真偽表(真理値表)について 今日、大学の」の回答画像1
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