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電磁気学の質問です。
電子の速度は電場によって変化しますか?

質問者からの補足コメント

  • 写真のように、紫は抵抗率を表しており、その値は導線の種類と温度で一意的に定まると思います。しかし、これでは同種同温の下ではT(電子と陽子の衝突間隔)は一定となり、電場の影響を全く考慮していないではありませんか。これは一体どうゆうことですか?

    「電磁気学の質問です。 電子の速度は電場に」の補足画像1
      補足日時:2022/04/17 22:20

A 回答 (7件)

まず、式の写真説明にあるように、Tは電子が”陽イオン”と衝突する時間間隔で、補足コメントにある”陽子”と衝突する訳ではありません。


導体内を移動する電子は、熱運動エネルギー(3kT/2)に対応した速度(すなわち熱速度v_th)の速度を有して、導体を構成する原子と衝突する度に、それまでの運動方向がランダムに変わります。導体に電位差が存在する場合も、その状況は基本的に変わりません。電子は電界と逆方向に力を受けますが、原子との衝突がしょっちゅう起こって、平均すると電界の逆方向にわずかにしか移動できません。この電界による電子の移動速度v_d(ドリフト運動と呼ばれている)について、物理的に次式の関係があると予想されてます(mは電子の質量、eは電気素量、Eは電界強度、τは平均的な衝突時間)。
d (m v_d)/d t = e E - (m v_d / τ) … (1式)
この式は、電子が(v_d/τ)の距離を移動する度に衝突を起こして、運動量を失うことを示してます。そして、この衝突が起きる平均距離(平均自由行程と呼ばれている)は、導体を構成する結晶の構造や純度に応じて決まる定数であることが経験的に知られています。すると、τ= 平均衝突距離/v_thも定数であるので、m v_d = e Eτが(1式)の解になることが分かります。こうして、電子の平均移動速度v_dが電界Eに比例する関係が導かれます。v_dは、普通 熱速度(室温で約100km/s)よりも桁違いに小さいです。
v_d = e E τ/m … (2式)

さて、抵抗R = V/Iで、導体の長さをL、断面積をS、電子の密度をnとすると、V= E L、I= e n v_d Sなので、(3式)が導かれて、そこに(2式)を代入すると(4式)となる。
R = V/I = (E L) / (e n v_d S) = [E/(e n v_d)] (L/S) … (3式)
R = [E/(e n)] [m/ (e E τ)] (L/S) = m/(e^2 n τ] (L/S) … (4式)

この(4式)は中のτをTとすれば、質問にある式の1/2となりますが、一般的には(4式)が知られてます。2倍の違いが出るのかは良く分かりませんが、何か特別な条件があるのではないかと思います。
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マクロ的に静止した電子が電子がT秒電場の中で加速されると


速度はeET/mになるから、衝突で、速度がゼロに戻るとすると
平均速度は eET/(2m)

I=enSν=e²nSET/(2m)
S: 断面積、e:素電荷、n:電子密度
E: 電場、m電子の質量

E=V/L
V: 電圧、L: 長さ
とすると
I={e²nT/(2m)}(S/L)V

つまり電場に比例する電流が流れる(オームの法則)。

電場は考慮されてるし、電場による電子の動きが
このモデルの根幹ですけど
何が問題なんでしょう?

TがEの変化で変動しないというのは理解してますか?

マクロの電子の速度はカタツムリ並みに遅いけど
個々の電子は光速のコンマ数%くらいの猛スピードで
動いています。Tはそっちの速さで決まります。
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(真空中の)電子線と(導体中の)電流を混同した質問が


数日前から続いていますね。
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なんかわからないが、Tは衝突間隔?[s] と書いてある。

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あちゃー、やったかぁ

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そうです。



真空中では mv'=-eE なので、v=-(eE/m)t
抵抗中では I=-envS、I=σES なので v=-σE/en

(完全)導体中では電界はないので、個々の要因により、略。
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電子が電場の中に入れば電磁気力を受けて進む方向が変わります。

進む方向が変わると言う事は速度が変わると言う事です。
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