「ブロック機能」のリニューアルについて

ax/((1+ax)(1+bx))
をxについて微分するにはどのように計算したらよいですか?

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A 回答 (7件)

>(f/g)'=f'g-fg'/g²


括弧をつけ忘れた(^_^;)
(f/g)'=(f'g-fg')/g²

ついでにこれで機械的に計算すると
(ax)'(1+ax)(1+bx)-(ax){(1+ax)(1+bx)}'/{(1+ax)(1+bx)}²
={a+a(a+b)x+a²bx²-(ax)(a+b+2abx)}/{(1+ax)(1+bx)}²
=(a-a²bx²)/{(1+ax)(1+bx)}²
=a(1-abx²)/{(1+ax)(1+bx)}²
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ax/((1+ax)(1+bx))=Aとおいて


ax=A*((1+ax)(1+bx))両辺を微分
a=A'*((1+ax)(1+bx))+A*((1+ax)(1+bx))'‥①
ここで、((1+ax)(1+bx))’=a(1+bx)+b(1+ax)
①から
A’=[a-{ax/((1+ax)(1+bx))}*{a(1+bx)+b(1+ax)}]/((1+ax)(1+bx))
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商の微分。

(f/g)'=f'g-fg'/g²
を使う。お馴染みだよね?
必ず習うので復習しよう。

ひょっとして積の微分も知らないのかな?
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[ax/{(1+ax)(1+bx)}]'


=[ax{(1+ax)(1+bx)}^(-1)]'
=(ax)'{(1+ax)(1+bx)}^(-1)+ax[{(1+ax)(1+bx)}^(-1)]'
=a{(1+ax)(1+bx)}^(-1)+ax[{(1+ax)(1+bx)}^(-1)]'
=a{(1+ax)(1+bx)}^(-1)+ax[(-1){(1+ax)(1+bx)}^(-2)]{(1+ax)(1+bx)}'
=a{(1+ax)(1+bx)}^(-1)-ax[{(1+ax)(1+bx)}^(-2)]{(1+ax)(1+bx)}'
=a{(1+ax)(1+bx)}^(-1)-ax[{(1+ax)(1+bx)}^(-2)]{(1+ax)'(1+bx)+(1+ax)(1+bx)'}
=a{(1+ax)(1+bx)}^(-1)-ax[{(1+ax)(1+bx)}^(-2)]{a(1+bx)+(1+ax)b}
=a{(1+ax)(1+bx)}^(-1)-ax[{(1+ax)(1+bx)}^(-2)]{a+abx+b+abx}
=a{(1+ax)(1+bx)}^(-1)-ax[{(1+ax)(1+bx)}^(-2)](a+b+2abx)
=a{(1+ax)(1+bx)}^(-1)-ax(a+b+2abx)[{(1+ax)(1+bx)}^(-2)]
=[a{(1+ax)(1+bx)}^(-2)]{(1+ax)(1+bx)-x(a+b+2abx)}
=[a{(1+ax)(1+bx)}^(-2)](1+ax+bx+abx^2-ax-bx-2abx^2)
=[a{(1+ax)(1+bx)}^(-2)](1-abx^2)
=a(1-abx^2)/{(1+ax)(1+bx)}^2
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ax/( (1+ax)(1+bx) ) = (a/(b-a)){ 1/(1+ax) - 1/(1+bx) }


と部分分数分解してからx で微分すれば、
(d/dx) ax/( (1+ax)(1+bx) ) = (a/(b-a)) (d/dx) { (1+ax)^-1 - (1+bx)^-1 }
= (a/(b-a)) { (-a)(1+ax)^-2 - (-b)(1+bx)^-2 }
= a{ 1 - abx^2 }/( (1+ax)(1+bx) )^2.
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仕方ないから


分母を展開して
商の微分公式に当てはめてみては…
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(fgh)'=f'gh+fg'h+fgh'


だから
 a/{(1+ax)(1+bx)}-a²x/{(1+ax)²(1+bx)}-abx/{(1+ax)(1+bx)²}
 =[a/{(1+ax)²(1+bx)²}]{(1+ax)(1+bx)-ax(1+bx)-bx(1+ax)}
 =[a/{(1+ax)²(1+bx)²}](1-abx²)
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