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以下の議論はどこがおかしいのでしょうか?
また、それをどう直せばよいのでしょうか?
教えて下さい。よろしくお願いします。
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関数f(x)を
x≠0のときf(x)=x²sin(1/x)
x=0のときf(0)=0
とします。

x>0とします。平均値の定理から
(f(x)-f(0))/(x-0)=f'(c)
すなわち
xsin(1/x)=2csin(1/c)-cos(1/c)
となるc(0<c<x)が存在します。

両辺でx→+0の極限を考えると
x→+0のときc→+0ですから
cos(1/c)→0 (c→+0)
となります。

しかし、明らかに
lim[t→+0]cos(1/t)
は存在しない。

どこがおかしいか?

教えて!goo グレード

A 回答 (6件)

x→aのときf(x)→ℓ(有限確定)となるための必要十分条件は


任意のaに収束する数列{x_n}にたいして数列{f(x_n)}が
ℓに収束することである

という定理があります。それでたとえば最初の動画の場合
x→0となる連続変数xのかわりにx_n→0(n→∞)となる
数列{x_n}をとって、かつ各x_nにたいして
(sinx_n-sinsinx_n)/(x_n-sinx_n)=cosc_n でc_nをきめて
やると以下のx、cについての議論は数列x_n、c_nについても
そのまま同じようになりたつから結局n→∞ならx_n→0、c_n→0
(sinx_n-sinsinx_n)/(x_n-sinx_n)→1 となるわけです。

ところがx_nはx_n→0(n→∞)なる任意の数列でこの議論が成立つ
わけだからさっきの定理より
(sinx-sinsinx)/(x-sinx)→1(x→0) 
というぐあいです。
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この回答へのお礼

あなたに会えてよかった

ありがとうございます。
本来ならば…こういうことを書くべきなのですよね??

お礼日時:2022/07/01 21:56

t>0に対して


g(t)=2tsin(1/t)-cos(1/t)
とする
自然数nに対して
nが奇数の時
n=2k-1
となる整数kがある
g(1/{(2k-1)π})=-cos((2k-1)π)=1
g(1/{2kπ})=-cos(2kπ)=-1

g(1/{2kπ})=-1<0<1=g(1/{(2k-1)π})=g(1/(nπ))
だから
中間値の定理から
g(c_n)=0
1/(2kπ)<c_n<1/{(2k-1)π}=1/(nπ)
となるような(c_n)が存在する

nが偶数の時
n=2k
となる整数kがある
g(1/{2kπ})=-cos(2kπ)=-1
g(1/{(2k+1)π})=-cos((2k+1)π)=1

g(1/{(2n+1)π})=1>0>-1=g(1/{2kπ})=g(1/(nπ))
だから
中間値の定理から
g(c_n)=0
1/{(2k+1)π}<c_n<1/(2kπ)=1/(nπ)
となるような(c_n)が存在する


自然数nに対して

0=2(c_n)sin(1/c_n)-cos(1/c_n)
|cos(1/c_n))|=2c_n/√(1+4(c_n)^2)

となるc_n{0<c_n<1/(nπ)}が存在する。

任意のε>0に対して
n_0>1/εとなる自然数n_0がある
n>n_0となる任意の自然数nに対して

|cos(1/c_n)|
=2c_n/√(1+4(c_n)^2)
≦2c_n
<2/(nπ)
<1/n<1/n_0<ε


lim_{n→∞}cos(1/c_n)=0
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この回答へのお礼

Thank you

ありがとうございます。

お礼日時:2022/07/01 21:56

関数f(x)を


x≠0のときf(x)=x²sin(1/x)
x=0のときf(0)=0
とします。

x>0とします。平均値の定理から
(f(x)-f(0))/(x-0)=f'(c_x)
すなわち

xsin(1/x)=2(c_x)sin(1/c_x)-cos(1/c_x)

となるc_x(0<c_x<x)が存在します。

自然数nに対して
x=1/(nπ)
C(n)=c_{1/(nπ)}
とすると
sin(1/x)=sin(nπ)=0だから

0=2C(n)sin(1/C(n))-cos(1/C(n))
cos(1/C(n))=2C(n)sin(1/C(n))
{cos(1/C(n))}^2=4{C(n)}^2{sin(1/C(n))}^2
(1+4{C(n)}^2){cos(1/C(n))}^2=4{C(n)}^2
{cos(1/C(n))}^2=4{C(n)}^2/(1+4{C(n)}^2)
|cos(1/C(n))|=2C(n)/√(1+4{C(n)}^2)

となるC(n)(0<C(n)<1/(nπ))が存在します。

任意のε>0に対して
n_0>1/εとなる自然数n_0がある
n>n_0となる任意の自然数nに対して

|cos(1/C(n))|
=2C(n)/√(1+4{C(n)}^2)
≦2C(n)
<2/(nπ)
<1/n<1/n_0<ε


lim_{n→∞}cos(1/c_{1/(nπ)})=0
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この回答へのお礼

解決しました

ありがとうございます。

お礼日時:2022/07/01 21:56

xがどのように滑らかに動いてもcは都合の良い場所を点々と動く、ということですか?//



そうです。平均値の定理が成立つかぎりf’(c)→0(c→+0)
なのだからcはこのような都合の値しかとらないということです。
これはこの関数の性質と考えます。

それと、ぼくが見たことある平均値定理を使った命題の証明で
不都合を感じたのはないですねぇ。
見た数は少ないけど(笑)
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この回答へのお礼

どう思う?

検索するとすぐに
https://youtu.be/Qiq5xa7nVwo
https://youtu.be/CL7-6DzFp18
こういうものが出てきますが、どちらも片手落ちということにはならないのでしょうか?
sincもcoscも都合のいいところを通っているだけなのですから。
もちろん何か一言付け加えれば正解にはなるでしょうけど、少なくともこのままではダメ、ということではないのでしょうか?

お礼日時:2022/05/08 10:25

平均値の定理はx>0の選び方にたいして0<c<x


(f(x)-f(0))/(x-0)=f'(c) となるようなcが存在する
って言ってるだけで0の近くの任意の値をとるとは言っていない。
だから xsin(1/x)=2csin(1/c)-cos(1/c) は
x>0をどう選ぼうとcの値は c→+0 のとき
cos(1/c)→0 となるような価しかとらないということです。
だからlim[t→+0]cos(1/t)とは意味がちがいます。
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この回答へのお礼

うーん・・・

xがどのように滑らかに動いてもcは都合の良い場所を点々と動く、ということですか?
にわかには信じがたい話ですが…。

このようなことを言い出したら、この世に溢れる平均値の定理を使って極限を求める問題への答案は全て不合格となりませんか?

お礼日時:2022/05/04 21:27

関数f(x)を


x≠0のときf(x)=x²sin(1/x)
x=0のときf(0)=0
とします。

x>0とします。平均値の定理から
(f(x)-f(0))/(x-0)=f'(c_n)
すなわち
xsin(1/x)=2csin(1/c_n)-cos(1/c_n)
となるc_n(0<c_n<x)が存在します。

両辺でx→+0の極限を考えると
x→+0のときc_n→+0ですから
cos(1/c_n)→0 (c_n→+0)
となります。

c_n=2/{(4n+1)π}
とすれば
lim_{n→∞}c_n=0
lim_{n→∞}cos(1/c_n)=lim_{n→∞}cos(2nπ+π/2)=0
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この回答へのお礼

ムッ

c_n=2/{(4n+1)π} としてよい根拠が全くわからない。

お礼日時:2022/05/04 16:28

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