ロジスティック方程式について

教えてください、ロジスティック方程式についてです。
ロジスティック方程式x(t+1) = a x(t) (1 - x(t))に複数の変数条件(a=2.5,3.5,4.0)を入れると画像のような挙動(MATLABにて出力)になりました。初期値は0.3で、赤線がa=2.5、青線がa=3.5、黒線がa=4.0です。
どうしてこうなるのでしょうか？
解説お願いします。

No.1 ベストアンサー 回答者： endlessriver 回答日時： 2022/05/14 23:21

詳細の議論は難しいので概略。

これは数列
　x[n+1]=a x[n](1-x[n])　(a>0)
となる。この極限が収束するとすれば、y=x と
　y=ax(1-x) ・・・・・①
のグラフの交点
　x=ax(1-x) → x=0, 1-1/a
となり、x₁=0.3 のとき、この数列は x=1-1/a の周りを回る。つまり
収束するとすれば
　x=1-1/a・・・・②
の点となる。

また、②の交点での①の傾きは
　y'=a(1-2x) → y'(x=1-1/a)=-a+2
となる。

すると、図のように
　a=2.5 → y'=-0.5・・・・・③
　a=3.5 → y'=-1.5・・・・・④
となり、③のように、y'>-1 のとき (傾きが緩やか)は、②の交点
(x=y=1-1/a=0.6)に向かって収束する。

さらに、この点の傾きが -1 ならば、この交点の周りには、同じ所を
回るだけとなり、振動する。傾きが -1 より小さいなら (急なら)、こ
の回転の幅? が色々かわり、収束するかよくわからない。