放物線についての質問です。

準線がx軸で、（３，３）でy=xに接する放物線Cがある。「Cがy軸対称であることは計算しなくても分かる」そうなのですが、理由を教えてください。

No.1 回答者： 銀鱗 回答日時： 2022/05/15 10:46

「準線がx軸」だから。

No.2 回答者： konjii 回答日時： 2022/05/15 13:16

準線とは、準線からの距離と焦点（この場合点（０，ｙ₁））からの距離が

おなじ座標の集合は放物線である。とあることから、この場合y軸対称であることがわかる。

この回答へのお礼

焦点がy軸上にあると決まるのはなぜですか。

お礼日時：2022/05/15 13:33

No.3 回答者： konjii 回答日時： 2022/05/15 16:25

放物線は準線に対して焦点を通る垂線に左右対称であるんで、準線がｘ軸なら放物線はｙ軸に対象になります。

この回答へのお礼

(x-1)^2=4(y-1)は準線がx軸ですが、y軸対称ではないのでは？

お礼日時：2022/05/15 17:01

No.4 回答者： stomachman 回答日時： 2022/05/15 18:59

準線がx軸である、ということから放物線の軸がy軸と平行だということはすぐわかる。

しかしそれがy軸と一致するということがどうして「計算しなくても分かる」のか？ というのがご質問の趣旨であろうかと思います。

　放物線の焦点Fの、ふたつの意味を考えてみます。
(1) 放物線の軸と平行に飛んできた光が放物線で反射したときに集まる焦点である、
(2) 放物線上の点Pと焦点Fの距離が、Pと準線の距離と等しいということ。

　で、図をご覧あれ。放物線（緑）上の点Mで光が反射する。これはMで接している赤の直線で反射するのと同じことです。その直線の傾きが1だから、(1)により、焦点FはMとy座標が同じです。また、(2)により青で示した準線上の点Xについて、FとMの距離はMとXの距離と同じ。赤の直線と準線の交点をHとすると、四角形HFMXは正方形であることがわかります。赤の直線はこの正方形の対角線ですね。
　さて、青の準線はx軸そのものである。そして赤の直線は原点(0,0)を通る。従って、Hは(0,0)でなくてはならない。Fは放物線の軸上にあるから、放物線の軸（一点鎖線）は(0,0)を通る。かくて、放物線の軸はy軸と一致するわけです。

この回答へのお礼

有り難うございます。
それは分かっていたのですが、他の考え方が知りたかったので質問しました。
でも、親切な図まで有り難うございます。

お礼日時：2022/05/15 19:23

No.5 回答者： konjii 回答日時： 2022/05/16 07:19

>(x-1)^2=4(y-1)は準線がx軸ですが、y軸対称ではないのでは？

この場合、ｘ＝１に対して左右対称です。焦点は（１，２√2）になっていて
ｙ軸上に焦点がありませんので準線の定義にあっていません。

この回答へのお礼

焦点（１，２）、準線y=0で問題なく放物線ですよね。

お礼日時：2022/05/16 16:53

No.6 回答者： syotao 回答日時： 2022/05/16 14:47

ぼくもそう単純に結論できないと考えてつぎのようにしてみました。

焦点Fの座標を（ｐ、ｑ）として放物線Cの点（x、y）は
放物線の定義から(ｘ-ｐ)^2＋(ｙ-ｑ)^2＝ｙ＾2これから
(ｘ-ｐ)^2＝2ｑｙ-ｑ＾2・・・①
①をｘで微分して整理すると
ｘ－ｐ＝ｑｙ’・・・②
①は（3,3）をとおるから
(3-ｐ)^2＝6ｑ-ｑ＾2・・・③
②はｘ＝3のときｙ’＝1だから
3-ｐ＝ｑ・・・④
③④からFの座標は（0、3）となってたしかにy軸上にあることがわかります。

この回答へのお礼

そうなんです。計算すればy軸対称になるのです。
でも、計算しないで、自明にはならないでしょうか？

お礼日時：2022/05/16 16:55

No.7 ベストアンサー 回答者： ゼロプライム 回答日時： 2022/05/16 20:29

放物線の焦点をF、放物線上の点をP、Pより準線に下した垂線の足をHとすると、

点Pにおける接線はFHと垂直に交わります。

放物線C上の点 (3 , 3) における接線の傾きは１なので、
FHの傾きはー１ということになります。
△PFHは二等辺三角形ですが、∠PHF＝45°なので直角二等辺三角形です。
これより、F(0 , 3) と分かります。
よって、Cはy軸対称です。

この回答へのお礼

へえ、そんな性質があるんですか。
それは知りませんでした。
有り難うございます。

お礼日時：2022/05/17 09:52

No.8 回答者： konjii 回答日時： 2022/05/17 07:52

>焦点（１，２）、準線y=0で問題なく放物線ですよね。

放物線です。ただ、準線y=0（ｘ軸）と焦点（０，２）からの距離同じ
座標の集合の放物線を、ｘ軸に沿って１移動した放物線になります。

この回答へのお礼

そうですよね。

お礼日時：2022/05/17 09:52