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以前質問させて頂いたのですが、

ii)
a=1
r>2
C={z||z-a|=r}
f(z)=1/(z^2-1)
a(n-k)=(1/n!)lim_{z→c}(d/dz)^n{f(z)(z-
とすると

n≦-2の時

a(n)=lim_{z→-1}1/(z-1)^(n+2)との事ですが、
なぜa(n)= {1/(n+1)!} lim_{z→-1}1/(z-1)^(n+2)
ではないのでしょうか?

質問者からの補足コメント

  • i)
    a=1
    0<r<2
    C={z||z-a|=r}
    f(z)=1/(z^2-1)
    a(n)={1/(2πi)}∳_{C}{f(z)/(z-a)^(n+1)}dz
    として、

    n≦-2の時

    a(n)=lim_{z→-1}1/(z-1)^(n+2)との事ですが、
    なぜa(n)= {1/(n+1)!} lim_{z→-1}1/(z-1)^(n+2)
    ではないのでしょうか?

      補足日時:2022/05/17 04:27
  • 間違えました。
    編集します。


     


    a=1
    0<r<2
    C={z||z-a|=r}
    f(z)=1/(z^2-1)
    a(n-k)=(1/n!)lim_{z→c}(d/dz)^n{f(z)(z-c)^k}
    として、

    n≦-2の時

    a(n)=lim_{z→-1}1/(z-1)^(n+2)との事ですが、
    なぜa(n)= {1/(n+1)!} lim_{z→-1}1/(z-1)^(n+2)
    ではないの
    でしょうか?

      補足日時:2022/05/17 04:32
  • では、a(n)={1/(2πi)}∳_{|z-1|=r}{1/{(z+1)(z-1)^(n+2)}dz...①
    にz=-1の時に
    ①から導かれるa(n)=lim_{z→-1}(z-1)^(-n-2)も間違いだったわけでしょうか?

      補足日時:2022/05/18 10:44

A 回答 (13件中1~10件)

r>2


C={z||z-1|=r}
f(z)=1/(z^2-1)
f(z)=Σ_{n=-∞~∞}a(n)(z-1)^n
a(n)={1/(2πi)}∳_{C}{f(z)/(z-1)^(n+1)}dz…①
↓この右辺のf(z)に f(z)=1/(z^2-1) を代入すると
a(n)={1/(2πi)}∳_{C}(1/{(z^2-1)(z-1)^(n+1)})dz
↓(z^2-1)(z-1)^(n+1)=(z+1)(z-1)^(n+2) だから
a(n)={1/(2πi)}∳_{C}{1/{(z+1)(z-1)^(n+2)}dz
↓ 1/(z-1)^(n+2)=(z-1)^(-n-2)だから
a(n)={1/(2πi)}∳_{C}{(z-1)^(-n-2)/(z+1)}dz…(1)

n≦-2の時
↓両辺に-nを加えると
0≦-n-2
だから
(z-1)^(-n-2)/(z+1)
のCの内側の特異点はz=-1だけでz=-1は1位の特異点だから
留数定理から
C={z||z-1|=r}を{z||z+1|=s},(0<s<1)に置き換えることができて

{1/(2πi)}∳_{C}{(z-1)^(-n-2)/(z+1)}dz={1/(2πi)}∳_{|z+1|=s}{(z-1)^(-n-2)/(z+1)}dz
↓これと(1)から
a(n)={1/(2πi)}∳_{|z+1|=s}{(z-1)^(-n-2)/(z+1)}dz…(2)

左辺はz=1を中心にf(z)を展開した時の{(z-1)^n}項の係数a(n)で
右辺はz=-1を中心に(z-1)^(-n-2)/(z+1)を展開した時の1/(z+1)項の係数
z=-1における(z-1)^(-n-2)/(z+1)の留数だから

{1/(2πi)}∳_{|z+1|=s}{(z-1)^(-n-2)/(z+1)}=Res((z-1)^(-n-2)/(z+1),-1)
↓これと(2)から

a(n)=Res((z-1)^(-n-2)/(z+1),-1)…(3)

↓右辺はz=-1を中心に(z-1)^(-n-2)/(z+1)を展開した時の1/(z+1)項の係数だから
↓z=-1は(z-1)^(-n-2)/(z+1)の1位の特異点だから
↓留数の公式から
↓Res((z-1)^(-n-2)/(z+1),-1)=lim_{z→-1}(z-1)^(-n-2)
↓これと(3)から

a(n)=Res((z-1)^(-n-2)/(z+1),-1)=lim_{z→-1}(z-1)^(-n-2)
だから


a(n)=lim_{z→-1}(z-1)^(-n-2)
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この回答へのお礼

ありがとうございます。
ちなみに過去の解答の
「だから何度もいっているように

a(n-k)=(1/n!)lim_{z→c}(d/dz)^n{f(z)(z-c)^k}

は間違いなのです」に関しては

ii)
a=1
r>2
C={z||z-a|=r}
f(z)=1/(z^2-1)
の時にa(n-k)=(1/n!)lim_{z→c}(d/dz)^n{f(z)(z-c)^k}の式を使うことが間違いという事でしょうか?

どうかよろしくお願い致します。

お礼日時:2022/05/20 13:21

a(n)={1/(2πi)}∳_{|z-1|=r}{1/{(z+1)(z-1)^(n+2)}dz



r>2
C={z||z-1|=r}
f(z)=Σ_{n=-∞~∞}a(n)(z-1)^n

a(n)={1/(2πi)}∳_{C}{f(z)/(z-1)^(n+1)}dz

↓ f(z)=1/{(z+1)(z-1)}だから

a(n)={1/(2πi)}∳_{C}{1/{(z+1)(z-1)^(n+2)}dz

↓ 1/(z-1)^(n+2)=(z-1)^(-n-2)だから

a(n)={1/(2πi)}∳_{C}{(z-1)^(-n-2)/(z+1)}dz

n≦-2の時
↓両辺に-nを加えると
0≦-n-2
だから
(z-1)^(-n-2)/(z+1)
のCの内側の特異点はz=-1だけでz=-1は1位の特異点だから
留数定理から

a(n)=Res((z-1)^(-n-2)/(z+1),-1)…(留)

↓留数の公式から
↓Res((z-1)^(-n-2)/(z+1),-1)=lim_{z→-1}(z-1)^(-n-2)
↓これと(留)から

a(n)=Res((z-1)^(-n-2)/(z+1),-1)=lim_{z→-1}(z-1)^(-n-2)
だから


a(n)=lim_{z→-1}(z-1)^(-n-2)

は間違いではありません
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この回答へのお礼

ありがとうございます。

a(n)=Res((z-1)^(-n-2)/(z+1),-1)=lim_{z→-1}(z-1)^(-n-2)と計算できる事はわかりました。
ですが、a(n)={1/(2πi)}∳_{|z-1|=r}{1/{(z+1)(z-1)^(n+2)}dzの式を使っていないように見えるのですが、なぜa(n)={1/(2πi)}∳_{|z-1|=r}{1/{(z+1)(z-1)^(n+2)}dzを使っていないのですか?

また、留数の定理Res((z-1)^(-n-2)/(z+1),-1)から、いきなりlim_{z→-1}(z-1)^(-n-2)と出ましたが、もう少し詳しい過程の計算を教えて頂けないでしょうか?

最後に、なぜ留数の定理Res((z-1)^(-n-2)/(z+1),-1)はa(n)={1/(2πi)}∳_{|z-1|=r}{1/{(z+1)(z-1)^(n+2)}dzのようにa(n)=と置けるのでしょうか?
調べても留数の定理がa(n)と=になる様な事が書かれていませんでした。

どうかよろしくお願い致します。

お礼日時:2022/05/18 13:31

zがcを除くz=cの近傍


0<|z-c|<r

f(z)

正則な場合に限り
0<|z-c|<r

f(z)=Σ_{n=-∞~∞}a(n)(z-c)^n

a(n-k)=(1/n!)lim_{z→c}(d/dz)^n{f(z)(z-c)^k}

とできるのです

c=1
r>2
の時
|z-1|≧2


f(z)=1/(z^2-1)

z=-1で正則ではないので
|z-1|>2で zは1に近づくことはできないので

a(n-k)≠(1/n!)lim_{z→1}(d/dz)^n{f(z)(z-1)^k}

です
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この回答へのお礼

なるほど、わかりました。

a(n)
=Res(1/{(z+1)(z-1)^(n+2)},-1)
=lim_{z→-1}1/(z-1)^(n+2)
=1/(-2)^(n+2)の2行目の計算式にlim_{z→-1}が入っていたので、てっきりa(n-k)=(1/n!)lim_{z→1}(d/dz)^n{f(z)(z-1)^k}を使ったのかと勘違いしていました。

では、a(n-k)=(1/n!)lim_{z→1}(d/dz)^n{f(z)(z-1)^k}は使えない為
a(n)={1/(2πi)}∳_{C}{f(z)/(z-1)^(n+1)}dzからlim_{z→-1}1/(z-1)^(n+2)を導くと思うのですが、a(n)={1/(2πi)}∳_{C}{f(z)/(z-1)^(n+1)}dzから lim_{z→-1}1/(z-1)^(n+2)を導くまでの過程の計算を教えて頂けないでしょうか?

お礼日時:2022/05/18 11:14

だから何度もいっているように



a(n-k)=(1/n!)lim_{z→c}(d/dz)^n{f(z)(z-c)^k}

は間違いなのです

a(n-k)=(1/n!)lim_{z→-1}(d/dz)^n{f(z)(z-(-1))^k}

にはなりません
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この回答へのお礼

では、以前に頂いた以下の回答は間違いであったわけでしょうか?

「f(z)=Σ_{n=-∞~∞}a(n)(z-c)^n
を変形する
その変形の仕方がまちがっているのです

f(z)=Σ_{n=-∞~∞}a(n)(z-c)^n

(自然数kに対して)
k位の極をもつならば

f(z)=Σ_{n=-k~∞}a(n)(z-c)^n だから

↓両辺に (z-c)^k をかけると

f(z)(z-c)^k=Σ_{n=-k~∞}a(n)(z-c)^(n+k)

m=n+k
とすると
n=m-k
だから

f(z)(z-c)^k=Σ_{m=0~∞}a(m-k)(z-c)^m

f(z)(z-c)^k=a(-k)+a(1-k)(z-c)+a(2-k)(z-c)^2+(3-k)(z-c)^3+(4-k)(z-c)^4+…
↓lim_{z→c}とすると
lim_{z→c}f(z)(z-c)^k=a(-k)

f(z)(z-c)^k=a(-k)+a(1-k)(z-c)+a(2-k)(z-c)^2+(3-k)(z-c)^3+(4-k)(z-c)^4+…
↓両辺をzで微分すると
(d/dz){f(z)(z-c)^k}=a(1-k)+2a(2-k)(z-c)+3(3-k)(z-c)^2+4(4-k)(z-c)^3+…
↓lim_{z→c}とすると
lim_{z→c}(d/dz){f(z)(z-c)^k}=a(1-k)

(d/dz){f(z)(z-c)^k}=a(1-k)+2a(2-k)(z-c)+3(3-k)(z-c)^2+4(4-k)(z-c)^3+…
↓両辺をzで微分すると
(d/dz)^2{f(z)(z-c)^k}=2a(2-k)+6(3-k)(z-c)+12(4-k)(z-c)^2+…
↓lim_{z→c}とすると
lim_{z→c}(d/dz)^2{f(z)(z-c)^k}=2a(2-k)
(1/2)lim_{z→c}(d/dz)^2{f(z)(z-c)^k}=a(2-k)



(1/n!)lim_{z→c}(d/dz)^n{f(z)(z-c)^k}=a(n-k)

a(n-k)=(1/n!)lim_{z→c}(d/dz)^n{f(z)(z-c)^k}

と変形するのです」

お礼日時:2022/05/18 10:32

a(n)={1/(2πi)}∳_{C}{(z-1)^(-n-2)/(z+1)}dz



n≦-2の時
↓両辺に-nを加えると
0≦-n-2
だから
(z-1)^(-n-2)/(z+1)
のCの内側の特異点はz=-1だけでz=-1は1位の特異点だから
留数定理から

a(n)=Res((z-1)^(-n-2)/(z+1),-1)…(留)

↓留数の公式から
↓Res((z-1)^(-n-2)/(z+1),-1)=lim_{z→-1}(z-1)^(-n-2)
↓これと(留)から

a(n)=Res((z-1)^(-n-2)/(z+1),-1)=lim_{z→-1}(z-1)^(-n-2)
だから


a(n)=lim_{z→-1}(z-1)^(-n-2)
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この回答へのお礼

なるほど!

a(n)
=Res(1/{(z+1)(z-1)^(n+2)},-1)
=lim_{z→-1}1/(z-1)^(n+2)...②
=1/(-2)^(n+2)
となるそうですが、
なぜ②の様になるのかわかりません。すなわち、a(n-k)=(1/n!)lim_{z→c}(d/dz)^n{f(z)(z-c)^k}に含まれる(1/n!)の部分がなぜ②では消えたのか知りたいです。

出来ればa(n-k)=(1/n!)lim_{z→-1}(d/dz)^n{f(z)(z-(-1))^k}にf(z)=1/(z^2-1)を代入して1/(-2)^(n+2)を導くまでの詳しい過程の計算を教えて頂けないでしょうか?
また、a(n)={1/(2πi)}∳_{C}{f(z)/(z-1)^(n+1)}dzにf(z)=1/(z^2-1)を代入して1/(-2)^(n+2)を導くまでの詳しい過程の計算を教えて頂けないでしょうか?

どうかよろしくお願い致します。

お礼日時:2022/05/18 10:09

a(n-k)={1/(n+1)!} lim_{z→-1}1/(z-1)^(n+2)の式を


導いたことはありません

フーリエ変換の公式からa(n)の公式を導くことはありません
--------------------------------------------------------------
左図
r>2 の場合
C={z||z-1|=r}

a(n)={1/(2πi)}∳_{C}{(z-1)^(-n-2)/(z+1)}dz

留数定理から
{1/(2πi)}∳_{C}{(z-1)^(-n-2)/(z+1)}dz=Res((z-1)^(-n-2)/(z+1),-1)
だから

a(n)=Res((z-1)^(-n-2)/(z+1),-1)

留数定理から
左図のように
積分経路をC={|z-1|=r}を{|z+1|=s}に変えることができて
同じと言えるのです
-------------------------------------------------------------------
右図
0<r<1 の場合
C={z||z-1|=r}

a(n)={1/(2πi)}∳_{C}{(z-1)^(-n-2)/(z+1)}dz
n≦-2の時
↓両辺に-nを加えると
0≦-n-2
だから
(z-1)^(-n-2)/(z+1)
は右図のように
Cの内側で正則だから

コーシーの積分定理から
正則関数
(z-1)^(-n-2)/(z+1)
の積分
{1/(2πi)}∳_{C}{(z-1)^(-n-2)/(z+1)}dz=0
になるから

a(n)=0
といえるのです
「以前質問させて頂いたのですが、 ii) 」の回答画像8
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この回答へのお礼

ありがとうございます。
「留数の公式から
↓Res((z-1)^(-n-2)/(z+1),-1)=lim_{z→-1}(z-1)^(-n-2)


a(n)=lim_{z→-1}(z-1)^(-n-2)」
に関して
なぜ留数の公式とa(n)が=と出来るのでしょうか?

お礼日時:2022/05/17 23:03

a(n-k)={1/(n+1)!} lim_{z→-1}1/(z-1)^(n+2)の式を


導いたことはありません

フーリエ変換の公式からa(n)の公式を導くことはありません
--------------------------------------------------------------
a(n)={1/(2πi)}∳_{C}{(z-1)^(-n-2)/(z+1)}dz

留数定理から
{1/(2πi)}∳_{C}{(z-1)^(-n-2)/(z+1)}dz=Res((z-1)^(-n-2)/(z+1),-1)
だから

a(n)=Res((z-1)^(-n-2)/(z+1),-1)

留数定理から
図のように
積分経路をC={|z-1|=r}を{|z+1|=s}に変えることができて
同じと言えるのです
-------------------------------------------------------------------
a(n)={1/(2πi)}∳_{C}{(z-1)^(-n-2)/(z+1)}dz
n≦-2の時
↓両辺に-nを加えると
0≦-n-2
だから
(z-1)^(-n-2)/(z+1)

Cの内側で正則だから

コーシーの積分定理から
正則関数
(z-1)^(-n-2)/(z+1)
の積分
{1/(2πi)}∳_{C}{(z-1)^(-n-2)/(z+1)}dz=0
になるから

a(n)=0
といえるのです
「以前質問させて頂いたのですが、 ii) 」の回答画像7
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この回答へのお礼

以前に以下の回答を頂いたのですが
「f(z)=Σ_{n=-∞~∞}a(n)(z-c)^n
を変形する
その変形の仕方がまちがっているのです

f(z)=Σ_{n=-∞~∞}a(n)(z-c)^n

(自然数kに対して)
k位の極をもつならば

f(z)=Σ_{n=-k~∞}a(n)(z-c)^n だから

↓両辺に (z-c)^k をかけると

f(z)(z-c)^k=Σ_{n=-k~∞}a(n)(z-c)^(n+k)

m=n+k
とすると
n=m-k
だから

f(z)(z-c)^k=Σ_{m=0~∞}a(m-k)(z-c)^m

f(z)(z-c)^k=a(-k)+a(1-k)(z-c)+a(2-k)(z-c)^2+(3-k)(z-c)^3+(4-k)(z-c)^4+…
↓lim_{z→c}とすると
lim_{z→c}f(z)(z-c)^k=a(-k)

f(z)(z-c)^k=a(-k)+a(1-k)(z-c)+a(2-k)(z-c)^2+(3-k)(z-c)^3+(4-k)(z-c)^4+…
↓両辺をzで微分すると
(d/dz){f(z)(z-c)^k}=a(1-k)+2a(2-k)(z-c)+3(3-k)(z-c)^2+4(4-k)(z-c)^3+…
↓lim_{z→c}とすると
lim_{z→c}(d/dz){f(z)(z-c)^k}=a(1-k)

(d/dz){f(z)(z-c)^k}=a(1-k)+2a(2-k)(z-c)+3(3-k)(z-c)^2+4(4-k)(z-c)^3+…
↓両辺をzで微分すると
(d/dz)^2{f(z)(z-c)^k}=2a(2-k)+6(3-k)(z-c)+12(4-k)(z-c)^2+…
↓lim_{z→c}とすると
lim_{z→c}(d/dz)^2{f(z)(z-c)^k}=2a(2-k)
(1/2)lim_{z→c}(d/dz)^2{f(z)(z-c)^k}=a(2-k)



(1/n!)lim_{z→c}(d/dz)^n{f(z)(z-c)^k}=a(n-k)

a(n-k)=(1/n!)lim_{z→c}(d/dz)^n{f(z)(z-c)^k}

と変形するのです」

導かれたa(n-k)=(1/n!)lim_{z→c}(d/dz)^n{f(z)(z-c)^k}の式は間違っていたのでしょうか?

お礼日時:2022/05/17 22:50

a(n-k)={1/(n+1)!} lim_{z→-1}1/(z-1)^(n+2)の式を


導いたことはありません

フーリエ変換の公式からa(n)の公式を導くことはありません

a(n)={1/(2πi)}∳_{C}{f(z)/(z-1)^(n+1)}dz

留数定理から
{1/(2πi)}∳_{C}{f(z)/(z-1)^(n+1)}dz=Res((z-1)^(-n-2)/(z+1),-1)
だから

a(n)=Res((z-1)^(-n-2)/(z+1),-1)

留数定理から
積分経路C={|z-1|=r}を{|z+1|=s}に変えることができて
同じと言えるのです

コーシーの積分定理から
正則関数の積分は0になるから
a(n)=0
といえるのです
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この回答へのお礼

>> a(n-k)={1/(n+1)!} lim_{z→-1}1/(z-1)^(n+2)の式を
導いたことはありません

ですが、以前に何かしらの計算でa(n-k)=(1/n!)lim_{z→c}(d/dz)^n{f(z)(z-c)^k}を導いたと思うのですが、
どうかもう一度a(n-k)=(1/n!)lim_{z→c}(d/dz)^n{f(z)(z-c)^k}を導くまでを教えて頂けないでしょうか?

お礼日時:2022/05/17 20:28

ii)の場合



a=1
r>2
C={z||z-a|=r}
f(z)=1/(z^2-1)

次の
a(n-k)=(1/n!)lim_{z→c}(d/dz)^n{f(z)(z-

間違いです
a(n-k)={1/(n+1)!} lim_{z→-1}1/(z-1)^(n+2)

間違いです

r>2
C={z||z-1|=r}
f(z)=Σ_{n=-∞~∞}a(n)(z-1)^n

a(n)={1/(2πi)}∳_{C}{f(z)/(z-1)^(n+1)}dz

↓ f(z)=1/{(z+1)(z-1)}だから

a(n)={1/(2πi)}∳_{C}{1/{(z+1)(z-1)^(n+2)}dz

↓ 1/(z-1)^(n+2)=(z-1)^(-n-2)だから

a(n)={1/(2πi)}∳_{C}{(z-1)^(-n-2)/(z+1)}dz

n≦-2の時
↓両辺に-nを加えると
0≦-n-2
だから
(z-1)^(-n-2)/(z+1)
のCの内側の特異点はz=-1だけでz=-1は1位の特異点だから
留数定理から

a(n)=Res((z-1)^(-n-2)/(z+1),-1)

↓留数の公式から
↓Res((z-1)^(-n-2)/(z+1),-1)=lim_{z→-1}(z-1)^(-n-2)


a(n)=lim_{z→-1}(z-1)^(-n-2)

-------------------------------------------------------

i)の場合

0<r<2
C={z||z-1|=r}
f(z)=1/(z^2-1)

f(z)=Σ_{n=-∞~∞}a(n)(z-1)^n

a(n)={1/(2πi)}∳_{C}{f(z)/(z-1)^(n+1)}dz

↓ f(z)=1/{(z+1)(z-1)}だから

a(n)={1/(2πi)}∳_{C}{1/{(z+1)(z-1)^(n+2)}}dz

↓ 1/(z-1)^(n+2)=(z-1)^(-n-2)だから

a(n)={1/(2πi)}∳_{C}{(z-1)^(-n-2)/(z+1)}dz

n≦-2の時
↓両辺に-nを加えると
0≦-n-2
だから
(z-1)^(-n-2)/(z+1)

Cの内側で正則だから

a(n)=0
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この回答へのお礼

ありがとうございます。

以前にa(n-k)={1/(n+1)!} lim_{z→-1}1/(z-1)^(n+2)の式をmtrajcp様は導いて頂きましたが、間違った式だったわけでしょうか?
確か、フーリエ変換の公式からa(n)の公式を導くという問題でa(n-k)={1/(n+1)!} lim_{z→-1}1/(z-1)^(n+2)の式を導いたと記憶していますが。

また、留数定理と言われる式a(n)=Res((z-1)^(-n-2)/(z+1),-1)とa(n)={1/(2πi)}∳_{C}{f(z)/(z-1)^(n+1)}dzは同じa(n)の式ですが、違う式同士なのでしょうか?

また、
「n≦-2の時
↓両辺に-nを加えると
0≦-n-2
だから
(z-1)^(-n-2)/(z+1)

Cの内側で正則だから

a(n)=0」との事ですが、もう少しわかりやすくa(n)={1/(2πi)}∳_{C}{(z-1)^(-n-2)/(z+1)}dzがa(n)=0になるまでの過程の計算を教えて頂けないでしょうか?

お礼日時:2022/05/17 13:39

ii)


a=1
r>2
C={z||z-a|=r}
f(z)=1/(z^2-1)

次の
a(n-k)=(1/n!)lim_{z→c}(d/dz)^n{f(z)(z-

間違いです
a(n-k)={1/(n+1)!} lim_{z→-1}1/(z-1)^(n+2)

間違いです

r>2
C={z||z-1|=r}
f(z)=Σ_{n=-∞~∞}a(n)(z-1)^n

a(n)={1/(2πi)}∳_{C}{f(z)/(z-1)^(n+1)}dz

↓ f(z)=1/{(z+1)(z-1)}だから

a(n)={1/(2πi)}∳_{C}{1/{(z+1)(z-1)^(n+2)}dz

↓ 1/(z-1)^(n+2)=(z-1)^(-n-2)だから

a(n)={1/(2πi)}∳_{C}{(z-1)^(-n-2)/(z+1)}dz

n≦-2の時
↓両辺に-nを加えると
0≦-n-2
(z-1)^(-n-2)/(z+1)
のCの内側の特異点はz=-1だけでz=-1は1位の特異点だから
留数定理から

a(n)=Res((z-1)^(-n-2)/(z+1),-1)

↓留数の公式から
↓Res((z-1)^(-n-2)/(z+1),-1)=lim_{z→-1}(z-1)^(-n-2)


a(n)=lim_{z→-1}(z-1)^(-n-2)
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