https://genkuroki.github.io/documents/20080424_fin

https://genkuroki.github.io/documents/20080424_f …
の定理2.1の直後に書いてある「a[n]≠0であることが容易に確かめられる」というのは何故でしょうか？
どのように考えればすぐに簡単に確かめられるのか教えて下さい。

nは自然数、pは素数、q=p^n、μはメビウス関数のとき、
(1/n) Σ[d|n] μ(n/d)q^d >0
となることがどのように考えれば容易に分かるのか、ということです。
よろしくお願いします。

No.2 ベストアンサー 回答者： ありものがたり 回答日時： 2022/05/19 10:47

μ(n/d) の値は 0, 1, -1 のどれかなので、

μ(n/d)q^d の絶対値が最も大きいのは d が大きくなる d = n のとき。
そのとき、μ(n/d) = μ(1) = 1 だから μ(n/d)q^d = q^n となる。
d = n 以外の項の和を考えると
｜Σ[d|n, d≠n] μ(n/d)q^d｜ ≦ Σ[d|n, d≠n] ｜μ(n/d)q^d｜
　　　　　　　　　　　　≦ Σ[d|n, d≠n] q^d
　　　　　　　　　　　　≦ Σ[d≦n-1] q^d
　　　　　　　　　　　　< q^n　　；ここは、q 進数で考えれば自明
であって、各項が負だったとしても Σ[d|n, d≠n] μ(n/d)q^d < -q^n.
よって、Σ[d|n] μ(n/d)q^d > 0

この回答へのお礼

ありがとうございます。

まともなことを言うありものがたりさんに久しぶりにお目にかかれて、なんだか少し安心しました。

お礼日時：2022/05/21 15:25

No.1 回答者： syotao 回答日時： 2022/05/18 18:23

Σ[d|n] μ(n/d)q^d >0ではなくて

Σ[d|n] μ(n/d)q^d≠0の証明じゃないのですか？

この回答へのお礼

そうです。

回答ありがとうございました。

お礼日時：2022/07/01 18:39