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数学Ⅲの関数の極限、関数の連続・不連続に関しての質問でございます。
問題集には、次の関数の〔 〕内の点における連続・不連続について調べよ。
f(x)=〔x〕〔x=1〕{ただし、〔 〕はガウス記号}とございまして、解答は
lim〔x〕=1 lim〔x〕=0
x→1+0 x→1-0

x➡️1のときの極限はないから、f(x)はx=1
で不連続である。

と問題集の解答に書いてあるのですが、極限計算の、x→1+0と x→1-0をそれぞれ計算するのはどうしてでしょうか。+0と-0をそれぞれ1の後ろにつける理由もわかりません。lim〔x〕=1であれば、           
  x→1+0
lim〔x〕=0 1-0は1なのにどうして
  x→1-0
イコール0と計算されるのかわかりません。

また、x➡️1のときの極限はないから、という意味もわかりません。ガウス記号を用いているから1は含まないということでしょうか。

詳しく知りたいです。

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A 回答 (5件)

なぜ、「 〔 〕内 」と「 〔 〕はガウス記号 」の両方に同じ文字を使う...


そういうとこ直さないと(以下省略

lim{x→1+0} f(x) とは、x が 1 に近づくとき
x > 1 の範囲の値だけを通って 1 に近づく場合に f(x) が近づく先の値、
lim{x→1-0} f(x) とは、x が 1 に近づくとき
x < 1 の範囲の値だけを通って 1 に近づく場合に f(x) が近づく先の値
を表す記号です。
lim{x→1} f(x) で「x が 1 に近づく」というとき、
x は x > 1 の値も x < 1 の値も好きに(不規則に)取りながら
x に近づいてよいのですが、
x が実変数であることの著しい特徴として
lim{x→1+0} f(x) と lim{x→1-0} f(x) が共通の値へ収束するならば
lim{x→1} f(x) もその値へ収束する
という定理が成立するので、
lim{x→1+0} f(x) と lim{x→1-0} f(x) だけ考えれば十分なのです。
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この回答へのお礼

貴重なご指摘感謝致します。

お礼日時:2022/05/20 10:58

任意のε>0に対して


あるδ>0が存在して
1<x<1+δとなる任意のxに対して
|f(x)-1|<ε
となる時

lim_{x→1+0}f(x)=1

定義するのです

任意のε>0に対して
あるδ>0が存在して
1-δ<x<1となる任意のxに対して
|f(x)|<ε
となる時

lim_{x→1-0}f(x)=0

定義するのです

1+0 の0は本当の0ではなく無限小(1/∞)を表し
(1+1/∞)という意味になります
1-0 の0は本当の0ではなく無限小(1/∞)を表し
(1-1/∞)という意味になります
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この回答へのお礼

詳しい解説参考になりました。

お礼日時:2022/05/20 11:00

あとは、ガウス記号でイメージ検索して


グラフをよくよく眺めて
ガウス記号の意味を把握なさると良いですよ
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この回答へのお礼

アドバイス感謝します。

お礼日時:2022/05/20 11:00

lim{x→1-0} とは「x がひだり(一未満)から 1 に近づく」と言う意味です


同様に
lim{x→1+0} とは右から1に近づくです
これら、左側からの極限と右側からの極限が一致しないときは、どちらを採用するべきか迷いますし
極限は存在しない
とされますよ
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この回答へのお礼

勉強になります。

お礼日時:2022/05/20 10:59

誤字訂正:



lim{x→1} f(x) で「x が 1 に近づく」というとき、
x は x > 1 の値も x < 1 の値も好きに(不規則に)取りながら
1 に近づいてよいのですが、
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この回答へのお礼

参考になりました。

お礼日時:2022/05/20 10:59

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