数学Ⅲの関数の極限、関数の連続・不連続に関しての質問でございます。
問題集には、次の関数の〔 〕内の点における連続・不連続について調べよ。
f(x)=〔x〕〔x=1〕{ただし、〔 〕はガウス記号}とございまして、解答は
lim〔x〕=1 lim〔x〕=0
x→1+0 x→1-0
x➡️1のときの極限はないから、f(x)はx=1
で不連続である。
と問題集の解答に書いてあるのですが、極限計算の、x→1+0と x→1-0をそれぞれ計算するのはどうしてでしょうか。+0と-0をそれぞれ1の後ろにつける理由もわかりません。lim〔x〕=1であれば、
x→1+0
lim〔x〕=0 1-0は1なのにどうして
x→1-0
イコール0と計算されるのかわかりません。
また、x➡️1のときの極限はないから、という意味もわかりません。ガウス記号を用いているから1は含まないということでしょうか。
詳しく知りたいです。
No.1ベストアンサー
- 回答日時:
なぜ、「 〔 〕内 」と「 〔 〕はガウス記号 」の両方に同じ文字を使う...
そういうとこ直さないと(以下省略
lim{x→1+0} f(x) とは、x が 1 に近づくとき
x > 1 の範囲の値だけを通って 1 に近づく場合に f(x) が近づく先の値、
lim{x→1-0} f(x) とは、x が 1 に近づくとき
x < 1 の範囲の値だけを通って 1 に近づく場合に f(x) が近づく先の値
を表す記号です。
lim{x→1} f(x) で「x が 1 に近づく」というとき、
x は x > 1 の値も x < 1 の値も好きに(不規則に)取りながら
x に近づいてよいのですが、
x が実変数であることの著しい特徴として
lim{x→1+0} f(x) と lim{x→1-0} f(x) が共通の値へ収束するならば
lim{x→1} f(x) もその値へ収束する
という定理が成立するので、
lim{x→1+0} f(x) と lim{x→1-0} f(x) だけ考えれば十分なのです。
No.5
- 回答日時:
任意のε>0に対して
あるδ>0が存在して
1<x<1+δとなる任意のxに対して
|f(x)-1|<ε
となる時
lim_{x→1+0}f(x)=1
と
定義するのです
任意のε>0に対して
あるδ>0が存在して
1-δ<x<1となる任意のxに対して
|f(x)|<ε
となる時
lim_{x→1-0}f(x)=0
と
定義するのです
1+0 の0は本当の0ではなく無限小(1/∞)を表し
(1+1/∞)という意味になります
1-0 の0は本当の0ではなく無限小(1/∞)を表し
(1-1/∞)という意味になります
No.4
- 回答日時:
あとは、ガウス記号でイメージ検索して
グラフをよくよく眺めて
ガウス記号の意味を把握なさると良いですよ
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