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αを代数的数とし、f(x)⊂Z[x]を最小多項式とする。
このとき、もしg(x),h(x)⊂Q[x]がf(x)=g(x)h(x)を満たすならば、gかhのどちらかは定数多項式であることを示せ。

という問題が分かりません。
教えていただけると幸いです。

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A 回答 (4件)

αを代数的数とし、


f(x)∈Z[x]を
f(α)=0
となるような最小次数多項式とする
このとき、
もしg(x),h(x)∈Q[x]がf(x)=g(x)h(x)を満たすならば、

g(α)h(α)=f(α)=0

だから

g(α)=0.または.h(α)=0

g(α)=0
の時

g(x)∈Q[x]
だから
g(x)=Σ_{k=0~n}{a(k)/b(k)}x^k
となる
整数n≧0,整数a(k),整数b(k)≠0
がある

c=Π_{j=0~n}b(j)
G(x)=c*g(x)
とすると
G(α)=c*g(α)=0

G(x)
={Π_{j=0~n}b(j)}Σ_{k=0~n}{a(k)/b(k)}x^k
=Σ_{k=0~n}{a(k)Π_{j≠k}b(j)}x^k
∈Z[x]

だから
G(x)はG(α)=0となるようなZ[x]の最小次数多項式となるから

G(x)の次数nとf(x)の次数は等しいから
f(x)の次数はn

G(x)h(x)=c*g(x)h(x)=c*f(x)

G(x)h(x)=c*f(x)

G(x)の次数n
h(x)の次数をmとする
定数cの次数は0
f(x)の次数n

n+m=n
だから
m=0
だから
h(x)の次数は0だから

h(x)は定数
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あ, #1 はめちゃくちゃだ. そもそもこれ自体が実質的に「既約であること」を示せ, って話なのにそこで「既約でなくなる」って使っていいわけがない.



背理法では「そうでないと f が最小多項式ではなくなる」, 直接行くなら「f と g (または h) が定数倍の関係にある」ことを示すんだろうな.
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ふと気付いたこと.



1. 記号の使い方がおかしい.
f(x)⊂Z[x]

g(x),h(x)⊂Q[x]
は記法として変だ.

2. 「f(x) を最小多項式とする」は言葉が足りない.
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この回答へのお礼

ご指摘いただき、ありがとうございます。
1の記号については、間違いだとわかっているものの、携帯のキーボードで打っているため、適した記号が使えなく、代わりに⊂を使ってしまいました……

お礼日時:2022/05/20 12:28

そうじゃないと f が (Z上) 既約でなくなる



というのをきちんと書けばいいんでないかな.
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