「ブロック機能」のリニューアルについて

ベクトルの重要な性質についてお尋ねしたいのですが、
Г↑aと↑bが1次独立のとき、↑a、↑bと同じ平面上に書かれたベクトルは全て
ma↑+nb↑(m、nは定数)の形に分解でき、m、nの組はただ一通りである。」
という性質があると思います。

これは証明、または理由を説明できますか?
とくに「ただ一通り」のところが知りたいです。
学校の先生は「連立方程式の答えが一通りしかないのと同じだ」的なことを言っていましたが、いまいち理解できませんでした。
よろしくお願いいたします。

教えて!goo グレード

A 回答 (2件)

このやり方は定石となっています。



一次独立とは
 c₁a+c₂b=0 → c₁=c₂=0
のことです。

任意のベクトル x について
 x=c₁a+c₂b
 x=c₁'a+c₂'b
と2通りあったとすると
 0=x-x=(c₁-c₁')a+(c₂-c₂')b
となり、a,bは一時独立だから
 (c₁-c₁')=(c₂-c₂')=0 → c₁=c₁' , c₂=c₂'
となり、分解は一通り。
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一般論として「ただ一通り」の証明では背理法がよく用いられる.



「ただ一通り」であることが直接示せるならその方がベターだけど.
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