変数の置き換えと範囲の確認につきまして

すみません。　

y=sin^2θ+ sinθ　　　θ∈R
の値域を求める問題で、t=sinθと置いて
二次関数の問題として解くのが普通かと思います。このとき、tには-1<=t<=1の範囲がつくかと思いますが、逆像法的に考えると理屈が分かると説明してくださった方がいます。

それとは別に、自分で調べて考えたのですが、合成関数として考えても同じ結論か出るように思ったのです。

つまり、

y=sin^2θ + sinθ　θ∈Rについて、
これは
y=f(t)=t^2 +t t∈R
t=g(θ)=sinθ　θ∈R
の合成関数f(g(θ))と考えることができる。
従って、その値域はt=g(θ)の値域と、fの元の定義域との共通部分(これはt=g(θ)の値域そのもの)を定義域としたfの像の取りうる範囲と一致するので

y=t^2+t -1<=t<=1の値域を求めることと、元のy=sin^2θ+sinθ　θ∈Rの値域を
調べることは同値である。

このように考えました。

興味のあるかたで、詳しいかた、どう思われます？

どうにも、普通の人がつまづかないとこで引っ掛かりを感じます。
申し訳ありません。

質問者からの補足コメント

• 

  ありがとうございます。参考になります。

  No.1の回答に寄せられた補足コメントです。 補足日時：2022/05/23 18:25

No.1 ベストアンサー 回答者： kacchann 回答日時： 2022/05/22 02:13

あなたの書いてることこそ、

「自然な考え方であり、あたりまえの考えかた」です。

逆像法うんぬんのほうが、不自然。
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一部、「考え方が不自然(おかしい)」と思うので、
指摘しておきます。
(※僕も専門家じゃないので、よく知りませんが)

＞従って、その値域は
＞t=g(θ)の値域と、
＞fの元の定義域との共通部分(これはt=g(θ)の値域そのもの)を
＞定義域とした

そうではなく、
自然に、ふつうに、シンプルに、
「従って、その値域は
「t=g(θ)の値域」を
定義域とした･･･」
とすれば
「事足りる」んじゃないでしょうか。