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直角三角形の斜辺をcとし、残りの2辺をa,bとした場合、ピタゴラスの定理からa+biとa-biをかけたものがc^2となりますが、これを幾何学的にイメージすることは可能なのでしょうか。

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A 回答 (3件)

いい説明かどうかは怪しいですがc=1のときにはピタゴラスの定理はおそらく複素平面における偏角の相殺に対応していると見ることもできるかと思います。

長さ1を斜辺にもつ直角三角形の他2変をa,bとしたときa+bi,a-biはそれぞれある偏角θ,-θで表されますが積をとると実軸上の点(すなわちz=1)に戻るのでそれは半径を表しています。
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この回答へのお礼

偏角の相殺という表現は、私のような非数学人にとってはイメージが湧く感じがします。ピタゴラスの定理は、共役複素数の積という概念からも導出できるものなのでしょうか。

お礼日時:2005/03/28 11:48

ただの絶対値です。

つまり複素数平面上にz=a+biを考えたとき、|z|^2=zz^*=(a+bi)(a-bi)=a^2+b^2ですが、これは原点を1つの頂点、a、a+biを他の頂点とする直角三角形の斜辺の長さに他なりません。なお^*は共役複素数を表わします。|z|^2=zz^*という関係が本質的です。一般に*代数と呼ばれる*作用素をもつカテゴリ-でその元とそのカテゴリーにおける共役元の積を取ったものに関してaa^*=||a||^2という関係はよく出てきます。
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この回答へのお礼

どこか幾何平均に似ているようにも思えるのですが、ご教示を座右に勉強させて頂きます。

お礼日時:2005/03/28 11:44

複素数の絶対値|a+bi| という概念がありますよ:



 |a+bi| = |a-bi| = (a^2 + b^2)^(1/2) = c

また a+bi を複素平面であらわすとちょうど、x-y 平面の(a,b) の点であらわされます。

 どうでしょうか。参考にしてね。。
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この回答へのお礼

掛け算と足し算の関係という素朴な疑問なのですが、ご教示をもとに勉強させて頂きます。ちなみに
b~2=c^2+(ia)^2という形式的なピタゴラスの定理もご教示の延長で説明できるものなのでしょうか。

お礼日時:2005/03/28 11:40

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