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以下の問題を解いていただきたいです。
1. Planckの式が,hv》>kTではWienの式,hvくkTで
はRayleigh-Jeansの式を与えることを示せ。

2. 振動数に関するエネルギー密度についてのPlanckの
式,Wienの式,Rayleigh-Jeansの式を波長に関するエ
ネルギー密度の式に変換せよ。

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A 回答 (1件)

1.


 u=(8πhν³/c³)/{exp(hν/kT)-1}
において、マクローリン展開
 exp(hν/kT)=1+hν/kT+(1/2!)(hν/kT)²+…
を使うと、

・hν/kT≪1 のとき
 exp(hν/kT)≒1+hν/kT
となるから
 u=(8πhν³/c³)/(hν/kT)=8πν²kT/c³・・・レイリー・ジーンズの公式

・hν/kT≫1 のとき
 exp(hν/kT)≫1 だから
 u=(8πhν³/c³)exp(-hν/kT)・・・ウィーンの輻射則


2.
 ν=c/λ
これを微分して
 dν=(c/λ²)(-dλ)
となり、

 u(ν)dν=(8πhν³/c³)/{exp(hν/kT)-1} dν
に上をいれると
 u(ν)dν=(8πhc/λ⁵)/{exp(hc/kTλ)-1} (-dλ)

この右辺はλを減少分の値だから、増分に直し、u(λ)dλ とおけば
 u(λ)dλ=(8πhc/λ⁵)/{exp(hc/kTλ)-1} dλ
となる。
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