この問題がわかりません。(1)とかはチェバみたいな感じですか？教えていただきたいです

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質問者：教えてよー
質問日時：2022/05/26 09:37
回答数：2件

この問題がわかりません。(1)とかはチェバみたいな感じですか？
教えていただきたいです

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回答 (2件)

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No.2ベストアンサー

回答者：ありものがたり
回答日時：2022/05/26 11:53

初等幾何は、うまくハマルと切れ味いいけど、

応用範囲が狭いよ。
問題の誘導どおおりに、普通にベクトルでやってみ。

(1)
型通りの操作。この手技は覚えてないと。
まず、仮定から →OP = p(→OA), →OQ = q(→OB).
内分外分公式から、
線分BP 上の点は (1-t)(→OP) + t(→OB),
線分AQ 上の点は (1-u)(→OA) + u(→OQ) と表せる。
R はこの２直線の交点なので、
→OR = (1-t)(→OP) + t(→OB) = (1-u)(→OA) + u(→OQ).
冒頭の式を使って →OP, →OQ を消すと、
(1-t)p(→OA) + t(→OB) = (1-u)(→OA) + uq(→OB).
点O,A,B が三角形を成すってことは →OA, →OB は一次独立なので、
この式は連立方程式 (1-t)p = 1-u, t = uq と同値で
解けば t = (1-p)q/(1-pq), u = (1-p)/(1-pq).

(2)
重心の式は覚えとくこと。→OG = { (→OO) + (→OA) + (→OB) }/3.
点G が直線PQ 上にある条件は、やはり内分外分公式から
→OG = (1-x)(→OP) + x(→OQ) = (1-x)p(→OA) + xq(→OB).
→OA, →OB が一次独立なことから２つの式を比較すると、
1/3 = (1-x)p, 1/3 = xq.
よって、p = 1/(3(1-x)), q = 1/(3x).

三角形の面積も知っとく。
S = (1/2)｜→OA｜｜→OB｜sin∠AOB,
T = (1/2)｜→OP｜｜→OQ｜sin∠POQ = (1/2)｜p(→OA)｜｜q(→OB)｜sin∠AOB
より、S/T = 1/(pq).前半の結果を代入して、S/T = 3(1-x)・3x = 9x(1-x).
相加相乗平均の関係より、√(x(1-x)) ≦ (x + (1-x))/2 = 1/2.
等号成立は x = 1-x のときなので、
S/T の最大値は x = 1/2 のとき S/T = 9(1/2)^2 = 9/4.