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関数列の収束について
次の問題を教えて欲しいです。
区間[0,1) の関数列fnと関数f(x)について
関数fn(x)がf(x)に一様収束するならば、
lim[n→∞]∫[0→1]|fn(x)-f(x)|^2dx=0

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A 回答 (1件)

fn(x) が f(x) に一様収束するというのは、


任意の正数 ε に対して
ε に依存し x には依存しない自然数 N が在って、
n > N のとき |fn(x) - f(x)| < ε が成り立つ
ということでしたね。
ピンと来なければ、「一様収束」の定義を確認のこと。
ε は任意だったので、任意の正数 ε₁ をとって
ε = √ε₁ としてもかまいません。 すると、
n > N のとき |fn(x) - f(x)|² < ε₁ となります。
この不等式を x∈[0,1) で積分すれば、
任意の正数 ε₁ に対して自然数 N が在って、
n > N のとき ∫[0,1]|fn(x) - f(x)|² dx < ε₁ です。
これは、lim[n→∞]∫[0,1]|fn(x) - f(x)|² dx = 0
の定義そのものでしたね。
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