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0の0乗はいったい何なのかを考えていたら、ある本の中にあった、lim(n→∞)n^1/n=1の証明を見て少しひらめきました。

  f(x)=(1+x)^n-(1+nx)

という関数はx>0で微分可能ですから。

  f'(x)=n(1+x)^n-1-n=n{(1+x)^n-1-1}>0

 である事がわかります。すると、f(0)=0であり、f(x)はx>=0で増加するから、x>0のときf(x)>0で、つまり

  (1+x)^n>(1+nx)

ここで、x=1/√nとおくと

  (1+1/√n)^n>1+√n>√n

この式の左辺と右辺を2n乗すると

  (1+1/√n)^2n^2>n^n

ここでn>1ならn^n>1ですから

  (1+1/√n)^2n^2>n^n>1
 
さらにlim(n→0)とすると

  (1+1/√n)^2n^2→1

となり、n^nは1で両側から挟み撃ちにされるので

  lim(n→0)n^n=1

つまり、0の0乗は1ってことにならないでしょうか。長々とした証明でした。読んでくださってありがとうございました。
         

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A 回答 (5件)

lim(n→0)n^n=1は正しいですが、証明にミスがあります。



>ここでn>1ならn^n>1ですから
  (1+1/√n)^2n^2>n^n>1

n>1ではそうですが、あとでn→0とするから意味がありません。
 
>さらにlim(n→0)とすると
  (1+1/√n)^2n^2→1

ここはlim(n→0)をとったとき、1+1/√n→∞となるので∞^+0の不定形では?
ここの証明が問題です。


定石的にはlogをとって極限をとるのがやりやすいと思います。

lim(n→0)log(n^n)=lim(n→0)nlogn=lim(t→∞)-logt/t=0
∴lim(n→0)n^n=1
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この回答へのお礼

こんな間違いがありましたか。
ご訂正ありがとうございました。

お礼日時:2005/03/29 10:26

0^0自体は不定形ですので定義できません。


 f(x)=x^xの場合、x→+0とすると
この場合はf(x)→1です。
 コンピュータでグラフを書くと一番わかりやすいかと思います。証明は他の方が書いているので割愛します。

 例えばf(x、y)=x^yでx→+0、y→+0の場合xがゼロに近づくスピードや近づき方とyがゼロに近づくスピードや近づき方によってこの値は1になりませんので0^0は1になりません。
 例えばy=x^xにそってx→+0、y→+0とした場合f(x,y)→1にならないのでは。
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敢えて易しく考えてみます。



足し算は0を基準として始め、掛け算は1を基準として始めます。

a+b+0=a+b
a*b*1=a*b

x^n(nは非負整数)というのはxをn回掛けたものでした。
x=3 , n=4という場合は、
3^4 = 1([*3]が4個) = 1*3*3*3*3 = 81 です。
x=5 , n=0という場合は、
5^0 = 1*([*5]が0個) = 1 = 1 です。
x=0 , n=0という場合は、
0^0 = 1*([*0]が0個) = 1 = 1 …。

というような考え方ができます。
指数の定義に因るものですね。
x^n(nは整数)に於いて、
A_1 = x
A_(n-1) = (A_n)/x
と定義してしまうとx=n=0の時、0/0の不定形が現れてしまいます。

0^0がどんな値なのか考えていく中で、不定形を登場させなければ答えが見えてくるかも…。
しかし、その答えは不定形を登場させないようにした条件下での答えでしかありませんので一般的には定義できませんね。

微妙な観点の話ですみません…。
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> 0の0乗=1……かな?


>
私もそうだと思っていました。

参考URL:http://oshiete1.goo.ne.jp/kotaeru.php3?q=676240
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lim(n→0)n^n=1は正しいです。

この極限の計算をするとき、logをとって、nlog n→0となることを証明する方法もあります。

また0以外の任意の実数の0乗は1であると約束するのが普通ですので、このことからも0の0乗を1と思うことはそれほど不満のあることではありません。

ですが、0^0はやはり定義できないです。それは0は何乗しても0であるという事実と、0乗は必ず1になるという約束がマッチしないからです。高校での数IIIで出てくるタイプとはまた少し違いますが、0^0も一種の不定形極限になっています。見やすくするために、logをとってみると、0log 0となって、0×-∞のタイプの不定形になっていることがわかります。たとえば極端な話x^{-1/(log x)}もやはりx→0のとき0^0のタイプになっていますが、実はx^{-1/(log x)}はxに関係なくずっと定数の1/eになります。このように0への近づけ方しだいでa^b(a→0,b→0)はいろいろな値をとることができます。すなわち不定形というわけです。
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