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年間で事故を起こす確率が10人に1人だとします。
この場合で、年間2回事故する人の確率はどのように考えれば良いでしょうか?
また3年間の中で、3年目だけ年間2回事故する人の確率はどのように考えれば良いでしょうか?

この問題ですが、回答しようと思った矢先に締め切られました。
私は以下のように考えますが、皆さんのご意見を伺いたいです。

事故数はポアソン分布に従うと考えられます。

P(x)=exp(-λ)・λ^x / x!

x=1(事故件数1件)の時の確率が0.1になるλを求めると、0.1118
これを上式に代入すると、

x事故数_P発生率
0_____0.894223084
1_____0.099974141
2_____0.005588554
3_____0.000208267

これによると、事故を起こさない人は89.4%
1回事故を起こす人は10%(これは題意である)
2回事故を起こす人は0.56%と考えられます。

また、3年目だけ年2回事故を起こす確率は、

0.894223084×0.894223084×0.005588554=0.004468803

より、0.45%と考えられます。

質問者からの補足コメント

  • 年間に事故を起こす人って、極端だけど100回起こす人も含めているなら、
    λの求め方は、x=0件のときにP=90%とすべきなんでしょうか。

      補足日時:2022/06/01 21:19
  • 題意を、年間1回以上事故を起こす人が10%なんだとすると、0件は90%だから、計算は以下のようになります。2回起こす確率は約0.5%です。

    x事故数_P発生率
    0____0.900324523
    1____0.094534075
    2____0.004963039
    3____0.000173706

      補足日時:2022/06/01 21:30
  • 前のベストアンサーの重大な欠点は、事故を起こさない確率を9/10、1回事故を起こす確率を1/10としている点です。これで100%。

    すると、3回起こす人や4回起こす人は皆無っていうことになってしまいます。

      補足日時:2022/06/01 21:42
  • 銀鱗さんのご指摘は、「帽子を忘れた先問題」と同じことだと理解しました。
    A君は5回に1回は帽子を忘れる癖がある。正月に3軒年始回りをした後、帽子を忘れていることに気づいた。1軒目で忘れた確率は。という問題で、後に行くほど確率は下がります。
    条件付き確率の問題ですね。

    確か、1970年代後半の早稲田の文系の入試問題でしたね。

    前質問に対する最初の回答者の方は、これを指摘してみえたのですね。ベストアンサーですね。

      補足日時:2022/06/02 01:38
  • 再度、回答の修正を試みました。

    1年間で1回以上事故を起こす人は10人中1人の割合でいるとする。
    すると、1年間で一度も事故を起こさない人は90%。
    事故件数はポアソン分布に従うと仮定して、ポアソン分布のパラメータλを解く。

    P(0)=exp(ーλ)・λ^0/0!=0.9 より、
    ーλ=log(0.9)=-0.1053605

    そこで、λ=0.1053605 として、発生率の表を作ると、

    x件数_P発生確率(前回より精度を高めました)
    0_____0.90000001
    1_____0.09482445
    2_____0.00499538
    3_____0.00017544
    4_____0.00000462
    5_____0.00000010
    6_____0.00000000
    7_____0.00000000

    よって、年間2回事故を起こす人の比率は約0.5%

      補足日時:2022/06/02 11:53
  • 次に3年経過する間、ある年次に事故を起こしてしまう確率は、
    (その前に事故を起こしていないことが条件となるから)
    1年目:0.1
    2年目:0.9・0.1
    3年目:0.9・0.9・0.1

    これらの総和が100%になるように按分すると(つまり、必ずどこか1年で事故をやっている)、
    1年目は、0.36900369
    2年目は、0.332103321
    3年目は、0.298892989

    一方、3年間に1年だけ0.00499538(年2回)の確率で事故を起こす確率の合計は、
    3C1・0.9^2・0.00499538=0.012138773

    よって、3年目に初めて事故(年2回)を起こす確率は、これを上記の比率で按分し、
    0.012138773・0.298892989=0.003628194

    ∴ 0.363%

      補足日時:2022/06/02 11:54
  • 修正版回答に対し、コメントを頂ければ幸甚です。
    銀鱗さん、貴重な示唆を賜り、ありがとうございました。

      補足日時:2022/06/02 12:00
  • 皆さんとのやり取りを通じて感じたことは、よく工事現場で「連続〇〇か月無事故職場」とか掲げていますが、統計的にはすごいことなんだ、ということです。
    等比数列のため達成確率がどんどんゼロ漸近する中で、達成し続けるのですから。

    これから、工事現場で見かけたときは、頭を下げようと思います。

    銀鱗さん、そういうことですよね。

      補足日時:2022/06/03 10:16
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A 回答 (6件)

ああ。


 1年目に事故を起こさない 9/10
 2年目に事故を起こさない 9/10
 3年目に2回事故を起こす 1/10×1/10=1/100
って答えてたやつね。

・・・

 (9/10)×(9/10)×(1/100)
では、
 1年目に事故を起こさない 9/10
 2年目に2回事故を起こす 1/10×1/10=1/100
 3年目に事故を起こさない 9/10
と、
 1年目に2回事故を起こす 1/10×1/10=1/100
 2年目に事故を起こさない 9/10
 3年目に事故を起こさない 9/10
と同義だから間違い。

ってのは指摘させてもらいます。
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この回答へのお礼

ありがとうございます。

その点は、私も間違えていました。
3年目に限らないといけませんね。

お礼日時:2022/06/01 21:45

No.3 です。



No.5 の考え方をすると、そもそも
0.9^2×0.00495
0.9×(0.1 - 0.00495)
と計算することも良くないかもしれませんね。
もっというと、1年で事故を起こす回数がポアソン分布に従うといっていいのかも分らなくなりました。
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この回答へのお礼

いやいや、私はgas2021さんのやりたいことは分かりましたよ。

私が補足に書いた、3年経過する間、ある年次に事故を起こしてしまう確率は、(その前に事故を起こしていないことが条件となるから)
1年目:0.1
2年目:0.9・0.1
3年目:0.9・0.9・0.1

としていますが、0.1の部分は「やらかす」確率で、pでも何でも良いと思います。また、その後の空欄は省略していますが、1が入ります。一度やらかせば、あとは何やっても、もう関係ないからです。

そして、0.9は重要で「やらかさない」確率です。私は無事故の確率を使っています。gas2021さんの解釈であれば、(1-年2件起こす確率)に置き換わると思います。

そして、3年間では100%起こるのだから、全体を1に変換しますが、その際に、最初に文字pと置いたとしても消えてしまいます。

あとは、等価の3年分の発生確率を按分するだけだと思います。

お礼日時:2022/06/03 09:30

No.3 です。


すみません、訂正です。

p[0, 1]: 1年目は事故を起こさず、2年目に事故を起こしたが2回ではない条件のともで3年目に事故を2回起こす確率
p[1, 0]: 1年目は事故を起こし、2年目に事故を起こさなかった条件のともで3年目に事故を2回起こす確率
p[1, 1]: 1年目も2年目も事故を起こしたが、どちらも2回ではなかった条件のともで3年目に事故を2回起こす確率
q: 1年目に事故を起こした条件のもとでの2年目に事故を起こすが2回ではない確率
r: 1年目に事故を起こした条件のもとでの2年目に事故を起こさない確率

が求められれば、

0.9^2×0.00495 + 0.9×(0.1 - 0.00495)×p[0, 1] + (0.1 - 0.00495)×q×p[1, 0] + 0.1×r×p[1, 1]
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> 1年目でそれをやってしまうより、2年間それを起こさないでいることの方が難しいので、後になるほど確率は下がります。



そういう仮定をもうけるのであれば、

p[0, 1]: 1年目は事故を起こさず、2年目に事故を起こした条件のともで3年目に事故を2回起こす確率
p[1, 0]: 1年目は事故を起こし、2年目に事故を起こさなかった条件のともで3年目に事故を2回起こす確率
p[1, 1]: 1年目も2年目も事故を起こした条件のともで3年目に事故を2回起こす確率
q: 1年目に事故を起こした条件のもとでの2年目に事故を起こす確率


が求められれば、3年目だけ2回事故を起こす確率は、

0.9^2×0.00495 + 0.9×0.1×p[0, 1] + 0.1×(1 - q)×p[1, 0] + 0.1×q×p[1, 1]

となるかとおもいますが、p[0, 1], p[1, 0], p[1, 1], q の値は、それぞれどれ位になるのでしょうかね?

そもそも

0.9^2×0.00495 ≒ 0.00401 > 0.003628194

となるのですが……。
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・年間2回事故する人の確率はどのように考えれば良いでしょうか?



> 2_____0.00499538
> よって、年間2回事故を起こす人の比率は約0.5%

この答えを支持します。


・3年間の中で、3年目だけ年間2回事故する人の確率はどのように考えれば良いでしょうか?

こちらは、No.2さんの

> ・1年目と 2年目は年間で「0回, 1回または 3回以上」事故を起こす

という解釈が良いように思うので、

(1 - 0.00499538)^2×0.00499538 ≒ 0.00495
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この回答へのお礼

ありがとうございます。

3年目に2件の事故を起こすという問題に関しては、たとえ解釈がそうであったとしても、qas2021さんは間違っていると思います。

この式だと、#1銀鱗さんご指摘のように、1年目も2年目も等価になってしまいます。1年目でそれをやってしまうより、2年間それを起こさないでいることの方が難しいので、後になるほど確率は下がります。

私も銀鱗さんに指摘されて気づきました。

補足に書いた「帽子を忘れた先問題」と同じです。

お礼日時:2022/06/02 22:02

これ, 個人的には「そもそも文章があいまいだ」って思うのよ.



「年間で事故を起こす確率が10人に1人」っていうのは状況をいろいろと考えることができて, 例えば「誰もが 1年に 1回しかやらないけど (統計的に) 10回に 1回事故を起こす」という解釈も不可能じゃない. で, その解釈のもとでは「年間2回事故する」なんてありえないんだよね.

そうじゃなくても, 例えば「3年目だけ年間2回事故する」が
・1年目と 2年目は年間で高々 1回しか事故を起こさない
・1年目と 2年目は年間で「0回, 1回または 3回以上」事故を起こす
のどっちとも解釈できる.

もっというと, 「年間で事故を起こす確率が10人に1人」も日本語としておかしい気がするんだ.
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この回答へのお礼

ありがとうございます。

色々解釈できるかもしれませんが、私は前問の回答者の解釈に沿って、修正を試みました。

もしその解釈を採用すれば、Tacosanさんは、どう計算されますか?

お礼日時:2022/06/02 02:05

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