社会人&学生におすすめする色彩検定の勉強術

数列{a[n]}(n≧1)が
a[1]=1
a[2]>2
a[n+2]a[n]=a[n+1]^2-1 (n≧1)
で定められているとき、任意のnで
a[n]≠0
を示すのに何か良い方法があれば教えて下さい。

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A 回答 (3件)

#2では身もふたもないので、#1さんを参考に考えました。



命題 a[n]>0 かつ a[n+1]≧a[n]+1・・・・①
を証明すれば、a[n]≠0 は自明。

n=1 のときは①の成立は自明。
n以下で①の成立を仮定。すると
 a[n+1]=(a[n]²-1)/a[n-1] → a[n+1]>0
また
 a[n+2]=(a[n+1]²-1)/a[n]
    =(a[n+1]+1)(a[n+1]-1)/a[n]≧a[n+1]+1
となり、n+1 の時も①が成立。よって命題は証明された。
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この回答へのお礼

助かりました

ありがとうございます。

この漸化式が出てくる問題を解いていて、問題文にも解説にもどこにもa[n]≠0が言及されていないのが不思議だったのですが、このように見事にシンプルに示せるわけですね。
ありがとうございました。

お礼日時:2022/06/09 17:41

でも、a[n]>0 というか、根本に戻って、a[n]≠0 を示さないと


ダメな気がする。

そこで、∃n,a[n]=0 とすれば、a[n+2]が定義できないが、数列
{a[n]}(n≧1)が定められていると仮定されているから、
 ∀n,a[n]≠0
である。
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この回答へのお礼

助かりました

ありがとうございます。

お礼日時:2022/07/01 18:45

a[2]≧2のとき ∀n (a[n+1]≧ a[n]+1)を証明すれば十分。

できるかな?
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この回答へのお礼

ありがとう

なるほど、こんな方法がありましたか。

ありがとうございます。、

お礼日時:2022/06/08 20:32

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