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コンパスで書いた円の長さを定規で測って直径を測って割ればいいんでしょうけどいつか割り切れますよね?

教えて!goo グレード

A 回答 (10件)

1976年 サラミンとブレントが考案した


「算術幾何平均」という手法で計算すると
スマホで10万桁くらい数秒で計算できますね(^_^;)

マチンより遥か遥かに速いです。
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22÷7 だって「割り切れない」といえなくはないのだが....



さておき, 実際に「コンパスで書いた円の長さを定規で測って直径を測って割ればいい」を実行すると
・そもそも「コンパスで書いた円」が正確な「円」である保証がない
・「円の長さ」や「直径」を正確に測れるという保証がない
という 2点が問題になる. 原子の大きさがおよそ nm オーダーなので, 例えば
直径 10 m の円を「原子 1個の大きさ」まで正確に描いてようやく 10桁ていどの精度が得られる
ってことになる. そして, 「円」の精度がこのていどしかないと, 円周や直径を正確に測ってもそこから得られる円周率は 10桁くらいしか正確ではないってことになる. ついでにいえば「正確に 10桁測る」というのも超高難度だ.

ということで, 古来「円周率の計算」では「結果として『円周率』が得られる計算方法」が用いられる. 古くは「正多角形から辺 (と頂点) を増やして周の長さを計算する」方法, より新しくは各種級数を使って計算してる.
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円周率は規則性がなく、かつ無限に続く少数です。

言い換えれば、整数で出来た分数で表すことが出来ません。(簡単に証明できますよ。高校数学でやったはずです)

どうやってもとめるか?中学生程度の知識なら、円に内接、外接する多角形の外周を計算し、その多角形の数を増やすことで、円周数値を、外接の外周より小さく、内接の外周より大きい条件から、正確に導くことができます。無限角形の外周がすなわち円周なのです。

外周がわかれば、直径との比率で、円周率が求められます。

これはほんの一例。この方法は、収束が遅いので計算に使うことはありません。何百通りもの、円周率をもとめる数列がありますので、それを使ってコンピュータで、膨大な桁数の円周率を計算します。
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円周率の計算は、古くから知られているものではマチンの公式というのがあります。

逆三角関数のarctanを使います。
PI/4=4arctan(1/5)-arctan(1/239) 
arctanは級数に展開できるので必要な精度になるまで項数を増やせばよいのです。
詳しくは下のリンクを見てください。
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%9E%E3%83%81 …

arcsinやarccosを使ってもよいのですが、最終値に到達するのにものすごく時間がかかります。三角関数を使った場合はarctanが最も早いし、さらに早くするために引数を1/5とか1/239といった小さい値にします。

マイコンがまだ好事家のオモチャだった今から40年ほど前の事。
小生、8ビットのマイコンにマチンの公式を入れてパイを計算したことがあります。プログラム自体は完全マシン語で1キロバイト程のごく短いものでしたが計算時間はほぼ桁数の2乗に比例して100桁で10分ほど、1000桁で20時間ぐらいかかりました。現代のパソコンなら1~2分ですかね?
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「いつか割り切れますよね?」


と言ってる時点で、多分わかってないのです。

パソコンに計算させるなら、例えば
「半径1(→直径2)の円の円周の長さ」
を計算させます。
円周の長さがわかれば、それを直径2で
割れば円周率が求められます。

どうするかというと、
半径1の円に内接する正n角形の
「周の長さ」で近似していくのです。
正n角形の1辺の長さは、
接点と中心を結んでできる1個の小さい三角形に余弦定理を用いて、
√(2(1- cos(360°/n)))
と出るので、それをn倍してあげます。
例えば、n=6(正六角形)なら、
周の長さ= 6 × √(2(1- cos(360°/6)))
=6 × √(2(1- cos 60°)) =6
円周率 = 6/2 = 3

n=36(正36角形)なら、
周の長さ= 36 × √(2(1- cos(360°/36)))
=36 × √(2(1- cos 10°))
= 6.27521347783
円周率 = 6.27521347783 / 2
= 3.13760673892
このnをどんどん大きくしてあげれば、
円周の長さを近似(→円周率を近似)
することができます。
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この回答へのお礼

なるほど、これが一番分かりやすいです。
”内接する正n角形の「周の長さ」で近似していく”なるほどそうやるんですね。

お礼日時:2022/06/11 00:04

例えば、1/8 = 0.125 って、


0.1 が 1個分と、
0.01 が 2個分と、
0.001 が 5個分でできてます。
(ピッタリ!)

同様にして表そうとすると、
円周率 = 3.141592653589…
っていうのは、
1 が3個分と、
0.1 が 1個分と、
0.01 が 4個分と、
0.001 が 1個分と、
0.0001 が 5個分と、
0.00001 が 9個分と、
0.000001 が 2個分と、
0.0000001 が 6個分と、
0.00000001 が 5個分と、
0.000000001 が 3個分と、
0.0000000001 が 5個分と、
0.00000000001 が 8個分と、
0.000000000001 が 9個分と…、
.(←残りカス)
でできてます。

この「残りカス」をさらに小さい
「10進小数」の目盛りでどんどん
測っていっても、さっきの「1/8」
みたいに「ピッタリ!」表すことが出来ず、
さらに小さい「残りカス」が残ってしまうのです。
コレが「無理数」というやつです。
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この回答へのお礼

そこまで長い説明しなくてもそれは分かっています。
じゃあ訊きますがあなたは今使っているそのコンピューターに円周率を計算させることは出来ますか?
何を何で割るかも分からないようではコンピューターは動いてくれないと思いますよ。

お礼日時:2022/06/10 23:08

そこに代入する数値をずっと計算しているんですよ

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この回答へのお礼

ダメだこりゃ、あなたには回答できませんね、何の数値も無く何を計算するんです?
円周が何センチで直径が何センチですか?
分かってる風で分かってないんですよ、説明できる人はちゃんと説明できますから。

お礼日時:2022/06/10 22:50

円周÷直径ですよ。


円の長さを定規で測って直径を測って割ってもわりきれません。割り切れたとなると、それは正確に長さを図れていないだけです。
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この回答へのお礼

やっぱりわかってないのでは?
数値でいくつ÷いくつなのかという話なんですが。
円周 = 直径 × 円周率は小学生で習いますが、そこに数値を代入できますか?

お礼日時:2022/06/10 22:37

> じゃあ何÷何なんですか?



円周 = 直径 × 円周率

円周率は、円周÷直径
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割り切れません。



割り算できる事と、割り切れる事は、同じでは無いのです。
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この回答へのお礼

じゃあ何÷何なんですか?
肝心のそこ答えて下さいよ

お礼日時:2022/06/10 22:02

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