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「f(x)は微分可能な関数で、f(-x)=f(x)+2x、f'(1)=1、f(1)=0を満たす。
(1)f'(-1)の値を求めよ。
(2)     f(x)+f(-x)-2
  lim =――――――――――の値を求めよ
 x→1    x-1

という問題です。
(1)は f'(-1)=-3と出たのですが、

(2)が解答の意味がよくわかりません。
F(x)=f(x)+f(-x)-2とおいたあと
F(1)=0が示してあり、
F'(x)=f'(x)-f'(-x)となってlimの式が

      F(x)-F(1)
  lim =――――――― と変えられて
 x→1    x-1

その後答えが4と出ています。

これは微分の定義にもっていきたいがために
このような操作をしているのでしょうか?

教えていただけると幸いです。

A 回答 (3件)

(2)     f(x)+f(-x)-2


  lim =――――――――――の値を求めよ
 x→1    x-1

こう書いてあったら、まずは分母・分子のxに1を代入してみると思います。この場合、
f(1)+f(-1)-2 = 0
となるので、この極限は0/0の不定形です。

説明のため、分子をyとおきます。
y = f(x)+f(-x)-2

ここで、xが1から変化して1+Δxになったと考えると、yも0から変化して0+Δy になります。すると、上の分数式はつぎのようになります。
y/(x-1) = Δy/Δx

ここで、Δx→0 としたものが求める極限値ですが、これは、まさに(x=1において)yをxで微分する操作であることがわかると思います。

ご質問の解答ではF(1)=0があとから示されているためにテクニック風に見えますが、じつは微分に持っていったのは式の形からみて、自然な流れです。

この回答への補足

回答ありがとうございます

>ここで、xが1から変化して1+Δxになったと考える
>と、yも0から変化して0+Δy になります。すると、上
>の分数式はつぎのようになります。
>y/(x-1) = Δy/Δx
>
>ここで、Δx→0 としたものが求める極限値ですが、
>これは、まさに(x=1において)yをxで微分する操作
>であることがわかると思います

この部分をもう少し解説していただけると助かります
宜しくお願いします

補足日時:2005/03/30 13:04
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ところで(1)は


f(-1)=f(1)+2*1=2ではないかと思うのですが。

さて、x-1=h とおくと、
(分子)=f(1+h)+f{-(1+h)}-2=f(1+h)+f(1+h)+2(1+h)-2
=2f(1+h)+2h とやったほうがすっきりするようにも思うのですが、まあf'(1)を使うための工夫でしかないのでおなじことでしょうね。
正直にいって本質をついた良問というよりただのパズル問題なんであまり気にしなくてもいいと思いますが。
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f(-x) = f(x) + 2x だから


f(x) + f(-x) - 2 = 2f(x) + 2x - 2 なので
lim(x→1) [f(x) + f(-x) - 2]/(x-1) = 2lim(x→1) f(x)/(x-1) + 2 = 2f'(1) + 2 = 4
の方が素直かも.
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