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一つのサイコロを6回振るとき、出る目の種類の個数の期待値はどのようになりますか?また、統計的推測によっても求められますか?教えてください。

質問者からの補足コメント

  • 質問しながらすみません。
    6×{1-(5/6)^6}=3.3339…
    で期待値は約4 のようです。

      補足日時:2022/06/13 08:54
  • 前の補足は計算ミスで、3.99 が正しい結果でした。

      補足日時:2022/06/13 21:15
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A 回答 (11件中1~10件)

樹形図で考えてみました。


現在 n 種類の目が有る場合ひとつに対してサイコロを一回振ると
場合は以下のように分裂して増えます。
n = 1 → n = 1 1個、n=2 5個に場合が分かれる。
n = 2 → n = 2 2個、n=3 4個に場合が分かれる。
n = 3 → n = 3 3個、n=4 3個に場合が分かれる。
n = 4 → n = 4 4個、n=5 2個に場合が分かれる。
n = 5 → n = 5 5個、n=6 1個に場合が分かれる。

これを使って場合の数を数えればよいので

まず、最初のさいころを振った時点の全ての場合は
n=1 6個
これを樹形図の出発点にして
2個目のさいころを振ると
n=1 6個 (6×1)
n=2 30個(6×5)
3個目のさいころを振ると
n=1 6個(6×1)
n=2 90個(6×5 + 30 ×2)
n=3 120個(30×4)
4個目のさいころを振ると
n=1 6個(6×1)
n=2 210個(6×5 + 90 ×2)
n=3 720個(90×4 + 120×3)
n=4 360個(120×3)
5個目のさいころを振ると
n=1 6個(6×1)
n=2 450個(6×5 + 210 ×2)
n=3 3000個(210×4 + 720×3)
n=4 3600個(720×3 + 360×4)
n=5 720個(360×2)
6個目のさいころを振ると
n=1 6個(6×1)
n=2 930個(6×5 + 450 ×2)
n=3 10800個(450×4 + 3000×3)
n=4 23400個(3000×3 + 3600×4)
n=5 10800個(3600×2 + 720×5)
n=6 720個(720×1)

以上の全パターンの目の種類の数(n)の平均値を求めると
(1 × 6 + 2 × 930 + 3 × 10800 + 4 × 23400 + 5 × 10800 + 6 × 720) ÷ (6+930+10800+23400+10800+720)=3.9906121399

これだと計算がだいぶ楽ですね。手計算で可能。
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この回答へのお礼

ありがとうございます。
6{1-(5/6)^6}=31031/7776 ですね。

お礼日時:2022/06/15 09:40

>6{1-(5/6)^6}=31031/7776 ですね



うん、全パターンの目の数の合計が 6(6^n - 5^n) になることは
気づいているのだけど、漸化式から求めるに至ってないです。

多分、工学的な応用がありそうだから、なんか名前がついてそうな
ものだけど・・・

ガチャのコンプに必要なガチャを引く回数の期待値とかと
類似した問題のようですね。
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この回答へのお礼

類題を探していただきありがとうございます。
4回振るときの出る目の種類の期待値は 6{1-(5/6)^4}=671/216 ですね。

お礼日時:2022/06/15 09:35

うろ覚えだけど, これって以前にも質問されてなかったっけ?



ここの検索がクズなこともあって見付けられないんだけど.
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r種類が等確率で出る試行をn回おこなって、r種類中の何種類が現れるかの期待値E(r,n)。



現れるのがk種類である場合の数をv(r,n,k)とする。
  v(r,n,1) = (rC1) q(n,1)
ここにq(n,1)は1ばっかり並べたやつの場合の数。
  q(n,1) = 1
そして
  v(r,n,2) = (rC2) q(n,2)
ここにq(n,2)は1と2を並べたやつで、両方が入っているやつの場合の数。
  q(n,2) = 2^n - (2C1) q(n,1)
一般に
  v(r,n,k) = (rCk) q(n,k)
  q(n,k) = k^n - Σ{i=1~k-1} (kCi)q(n,i)
そして求める期待値は
  E(r,n) = (1/(r^n)) Σ{k=1~r} k v(r,n,k)
  = (1/(r^n)) Σ{k=1~r} k (rCk) q(n,k)

ご質問はr=n=6の場合。Excelで計算してみると
  E(6,6) = 3.99061214

qの一般項が綺麗に出せないかについては、やってません。
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この回答へのお礼

漸化式を導けば結果は楽に求められるのですね。ありがとうございました。

お礼日時:2022/06/19 08:50

No.3 <


  46656 = 6^6 < (6C5)(5^6) = 93750
だから変じゃない?
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単純総当たりでチェックしてみました。




def numkind(ss):
 num=0
 a=[]
 for s in ss:
  if not (s in a):
   a.append(s)
   num +=1
 return num


sss = ((x1,x2,x3,x4,x5,x6)
for x1 in range(1,7)
for x2 in range(1,7)
for x3 in range(1,7)
for x4 in range(1,7)
for x5 in range(1,7)
for x6 in range(1,7)
)

num=0
for ss in sss:
 num += numkind(ss)

print(num/6**6)

結果
3.9906121399176953

[Program finished]
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この回答へのお礼

ありがとうございます。正しい結果だと思います。

お礼日時:2022/06/13 21:13

統計的には、実験から推測することはできますが、


求めることはできません。統計で真値は判らない。
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この回答へのお礼

実は目の種類が増えて振る回数も増えたときは計算では無理なので、統計的な方法で解決できないかと考えておりました。
やはり、プログラムによるシミュレーションして求めるしかないのでしょうか。

お礼日時:2022/06/12 17:56

サイコロの出た目を、1回目から6回目まで一列に並べて記録しましょう。


記録されるパターンは 6^6 通りで、それらが等確率で現れます。

出る目の種類が1個なのは、そのうちの (6C1)(1^6) 通り。
出る目の種類が2個以下なのは、そのうちの (6C2)(2^6) 通り。
出る目の種類が3個以下なのは、そのうちの (6C3)(3^6) 通り。
出る目の種類が4個以下なのは、そのうちの (6C4)(4^6) 通り。
出る目の種類が5個以下なのは、そのうちの (6C5)(5^6) 通り。
出る目の種類が6個以下なのは、そのうちの (6C6)(6^6) 通り。

出る目の種類が2個なのは、 (6C2)(2^6) - (6C1)(1^6) 通り。
出る目の種類が3個なのは、 (6C3)(3^6) - (6C2)(2^6) 通り。
出る目の種類が4個なのは、 (6C4)(4^6) - (6C3)(3^6) 通り。
出る目の種類が5個なのは、 (6C5)(5^6) - (6C4)(4^6) 通り。
出る目の種類が6個なのは、 (6C6)(6^6) - (6C5)(5^6) 通り。

出る目の種類が1個になる確率は、 (6C1)(1^6)/6^6。
出る目の種類が2個になる確率は、 { (6C2)(2^6) - (6C1)(1^6) }/6^6。
出る目の種類が3個になる確率は、 { (6C3)(3^6) - (6C2)(2^6) }/6^6。
出る目の種類が4個になる確率は、 { (6C4)(4^6) - (6C3)(3^6) }/6^6。
出る目の種類が5個になる確率は、 { (6C5)(5^6) - (6C4)(4^6) }/6^6。
出る目の種類が6個になる確率は、 { (6C6)(6^6) - (6C5)(5^6) }/6^6。

出る目の種類の個数の期待値は、
  1・(6C1)(1^6)/6^6
 + 2・{ (6C2)(2^6) - (6C1)(1^6) }/6^6
 + 3・{ (6C3)(3^6) - (6C2)(2^6) }/6^6
 + 4・{ (6C4)(4^6) - (6C3)(3^6) }/6^6
 + 5・{ (6C5)(5^6) - (6C4)(4^6) }/6^6
 + 6・{ (6C6)(6^6) - (6C5)(5^6) }/6^6
= { (1 - 2)・(6C1)(1^6)
 + (2 - 3)・(6C2)(2^6)
 + (3 - 4)・(6C3)(3^6)
 + (4 - 5)・(6C4)(4^6)
 + (5 - 6)・(6C5)(5^6)
 + 6・(6C6)(6^6) }/6^6
= { - 6(1^6)
 - 15(2^6)
 - 20(3^6)
 - 15(4^6)
 - 6(5^6)
 + 6(6^6) }/6^6
= 2275/972
≒ 2.34…

だいたい 2個ちょっとくらい。
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この回答へのお礼

この回答を期待していました。ありがとうございました。

お礼日時:2022/06/12 17:51

No.1 です。

「お礼」に書かれたことについて。

>各目の出る確率は 1/6 だから6回振るときの各目の出る期待値は 6×1/6=1 ですね。これから、目の種類の個数はどうやって求めるのでしょうか?

6回振るときには、全ての目の「出る回数1回の期待値」が「1」になるということです。

・「1」の目が出る回数の期待値:1回
・「2」の目が出る回数の期待値:1回
・「3」の目が出る回数の期待値:1回
・「4」の目が出る回数の期待値:1回
・「5」の目が出る回数の期待値:1回
・「6」の目が出る回数の期待値:1回

同様に
・「偶数」の目が出る回数の期待値:3回
・「5以上」の目が出る回数の期待値:2回
などなど。

振る回数が 12回なら
・「1」の目が出る回数の期待値:2回
・「2」の目が出る回数の期待値:2回
・「3」の目が出る回数の期待値:2回
・「4」の目が出る回数の期待値:2回
・「5」の目が出る回数の期待値:2回
・「6」の目が出る回数の期待値:2回

・「偶数」の目が出る回数の期待値:6回
・「5以上」の目が出る回数の期待値:4回
になります。
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この回答へのお礼

ありがとうございます。
しかし、質問は平均して何種類の目が出るかということなのですが、、、

お礼日時:2022/06/12 15:07

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