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こんばんは。
解答を読んでもよく理解できない問題があったので質問させてください。

AとBとCが試合をする。それぞれの勝つ勝率はAが1/2、Bが1/3、Cが1/6であり、必ず1試合では誰か1人のみ勝者となる。先に3勝した者を優勝とする。
(1)4試合目で優勝者が決定する確率を求めよ。
(2)6試合目でBが優勝する確率を求めよ。

(1)はAが優勝…3C2×(1/2)^2×1/2×1/2=3/16
  Bが優勝…3C2×(1/3)^2×2/3×1/3=2/27
  Cが優勝…3C2×(1/6)^2×6/5×6/1=5/432
  よって 3/16+2/27+5/432=59/216 

(2)は5試合目までA2勝、B2勝、C1勝、またはA1勝、B2勝、C2勝で、6試合目にBが勝てばよいから
  5C2×3C2×(1/2)^2×(1/3)^2×1/6×1/3
+5C2×3C2×1/2×(1/3)^2×(1/6)^2×1/3=5/81

となりますよね?
両方とも式の意味が分かりません。
できれば詳しく教えてください(>_<) お願いします!!

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A 回答 (2件)

まずはBさんにしぼって考えて行きましょう。


ある試合でBさんの勝つ確率は1/3と言われています。ということは、Bさんが負ける確率は
1 - 1/3 = 2/3
ですね。次に、1試合目に勝って2試合目に負ける確率を求めてみると、
1/3 × 2/3 = 2/9
というように、それぞれの確率の積になります。ここまではOKですか?OKであれば解説に進みます。

(1)
まずAさんに的をしぼりましょう。4試合目に優勝者が決まるということは、それまでに誰かが2勝していて、
その人が4試合目に勝利するということですね。今はAさんが優勝する場合について考えているので、
3試合目までのAさんの成績が2勝1敗であることが分かります。では、3試合で2勝1敗になる組み合わせは
どうなるでしょう。具体的に書き出してみましょう。
(1試合目、2試合目、3試合目)=
ア) (負、勝、勝)
イ) (勝、負、勝)
ウ) (勝、勝、負)
の3通りですね。これは3個の箱から2個を取り出して、そこに「勝」を入れる入れ方に等しいので
式で書くと 3C2 になります。
次に上で求めた3通りについて、その状況が起こる確率を求めましょう。
ア)の起こる確率は
(1-1/2)(負ける確率) × 1/2(勝つ確率) × 1/2(勝つ確率)
イ)の起こる確率は
1/2(勝つ確率) × (1-1/2)(負ける確率) × 1/2(勝つ確率)
ウ)の起こる確率は
1/2(勝つ確率) × 1/2(勝つ確率) × (1-1/2)(負ける確率)
少し考えて見れば分かると思いますが、全ての場合において同じになりますね。
掛け算は順番を変えても結果は変わりませんから。
というわけで、ここまでをまとめると、3試合目までにAさんが2勝1敗となる確率は

 (2勝1敗となる組み合わせ) × (勝つ確率)^2 × (負ける確率)
= 3C2 × (1/2)^2 × 1/2

ですね。さて、その上で4試合目でAが勝てば条件を満たすわけですから、上の式にAの勝つ確率1/2を
かけてやればよいのです。よって

 (2勝1敗となる組み合わせ) × (勝つ確率)^2 × (負ける確率) × (勝つ確率)
= 3C2 × (1/2)^2 × 1/2 × 1/2

が求まります。BさんとCさんについても同様に当てはめていけば求まりますね。
(Bさんの負ける確率は 1-1/3=2/3、Cさんの負ける確率は 1-1/6=5/6です)

最後に、Aさんが優勝することとBさんが優勝することとCさんが優勝することは独立する事象
(同時には起こらない 例えばAさんとBさんの同時優勝はありえない)ですので、
誰かが4試合目に優勝する確率は、Aさんの優勝する確率とBさんの優勝する確率とCさんの優勝する確率の
単純な和で求められます。


(2)
6試合目にBさんの優勝が決まるということは、5試合目までにBさんは2勝していなければいけません。
さらに5試合中の2試合でBさんが勝利しているということは、残りの3試合においてAさんかCさんが
勝利していることになります。ここでAさんまたはCさんが3勝していたら、その時点でAさんあるいは
Cさんの優勝が決まっていることになるのでありえません。したがってこの時点で、
(Aの勝利数、Bの勝利数、Cの勝利数)=
ア)(2、2、1)
イ)(1、2、2)
の2通りであることが分かりますね。これを式で表せばよいということです。
これについてもア)の場合を考えてみますと以下のようになります。
5試合中、任意の2試合をAさんが勝つとして、その組み合わせは、5から任意の2つを取り出す取り出し方
すなわち「5C2」となります。残り3試合のうち2試合をBさんが勝つとして、その組み合わせは
3から任意の2つを取り出す取り出し方すなわち「3C2」となります。
(1)が分かれば、Aの2勝、Bの2勝、Cの1勝となる確率は、順番を考慮に入れないと
(1/2)^2 × (1/3)^2 × 1/6
となることは分かりますね。これに勝つ順番を考慮に入れれば、5C2と3C2を掛け合わせ
5C2 × 3C2 × (1/2)^2 × (1/3)^2 × 1/6
となります。で、最後にBさんが勝つといっているのですから、この式に 1/3 をかけて
5C2 × 3C2 × (1/2)^2 × (1/3)^2 × 1/6 × 1/3
となるわけです。
イ) も全く同様に考えてみましょう。
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> (1)はAが優勝…3C2×(1/2)^2×1/2×1/2=3/16


>   Bが優勝…3C2×(1/3)^2×2/3×1/3=2/27
>   Cが優勝…3C2×(1/6)^2×6/5×6/1=5/432
Cを解説しましょう。3試合の内2試合勝っていればいいので組合せは3C2。
1試合勝つ確率は1/6、1試合負ける確率は5/6。
2試合勝って1試合負ける確率は1/6×1/6×5/6。

>   よって 3/16+2/27+5/432=59/216
AとBとCを加えます。

> (2)は5試合目までA2勝、B2勝、C1勝、またはA1勝、B2勝、C2勝で、6試合目にBが勝てばよいから
ここまではいいですよね。

>   5C2×3C2×(1/2)^2×(1/3)^2×1/6×1/3
> +5C2×3C2×1/2×(1/3)^2×(1/6)^2×1/3=5/81
1行目だけ説明します。
5C2は5試合中の2試合をBが勝つ組合せ。
3C2は残りの3試合の内2試合をAが勝つ組合せ。
それに、Aの勝つ確率2回とBの勝つ確率2回とCの勝つ確率1回をかけます。
最後に6試合目にBの勝つ確率1/3をかけます。
2行目も同じ考え方です。
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