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tanθは分母が0になることがある為、テイラーとマクローリン展開は出来ないと聞いたことがあるのですが、以下のサイトではx=0の時にマクローリン展開しています。なぜマクローリン展開できるのでしょうか?
https://manabitimes.jp/math/1381

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A 回答 (8件)

ありがとうございます→#7

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tanθ のマクローリン展開は


|θ|<π/2 で収束することが
タランベールの判定法で判定できるんだけど、
tanθのn次微分を求めるのは結構厄介で
確かベルヌーイ数とか入ったややこしい式になる。

それをダランベールで判定するには
ベルヌーイ数の性質を幾つか利用しないとできないので
随分難儀したのをうっすら覚えてます。

ややこしい証明なんて覚えてないので
ざっと探したけど、書いてあるサイトないなあ。

誰か貼ってくれるに違いない(^_^;)
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tanθ=sinθ/cosθはθ=π/2の時分母cosθ=cos(π/2)=0になるから


θ=π/2でテイラー展開は出来ないけれども
θ=0では分母cosθ=cos(0)=1は0にならないから
|θ|<π/2でテイラーとマクローリン展開できる

tanx=sinx/cosxはx=π/2の時分母cosx=cos(π/2)=0になるから
x=π/2でテイラー展開は出来ないけれども
x=0では分母cosx=cos(0)=1は0にならないから
|x|<π/2でテイラーとマクローリン展開できる
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追記


https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%86%E3%82%A4 …

によると、|x|<π/2 とのこと。
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あなたの言う通りです。


正確にはできまず、そのサイトは説明不足です。

展開できるためには当然、剰余項が0に収束する必要があります。
ところがそのサイトによるとn回微分には n!程度の係数があり、収束
の証明ができません(証明するまでもなく、x=πで展開はt∞となる)。

例えば、e^xの剰余項は (xⁿ/n!)e^(θx) ですが、xを固定すれば、
これが0に収束する。

ただし、tanx のとき、|x|<1 の範囲であれば、微分項にn!程度の係
数があっても、xⁿ → 0 なので展開は収束します(ただ、剰余項の正確
な評価はしていません)。
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テイラー展開には、展開の中心ってあるよね?


tanθは分母が0になることがある為、
分母が0になるようなθを中心とした
テイラーとマクローリン展開は出来ない。
θ=0はそういう中心じゃあないよねって話。
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その「聞いたことがある」が, あなたの勘違い (ないし勝手な読み違い) だろう. そんな大雑把な条件じゃない. というか「分母」っ

てなんだ.
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