連立方程式についての疑問

連立方程式について

連立方程式の解を求める際、係数を揃えるために、両辺に同じ数をかける時か がありますが、
なぜそのようなことをしても良いのですか？ 学校の授業では両辺に同じ数をかけても等式は成り立つから、かけた後の方程式と前の方程式は見た目は違っても同じ式だ。といっていましたが、
かける前の方程式を成り立たせるxとyの値と、
かけた後の方程式を成り立たせるxとyの値は違うのではないですか？
なぜかける前とあとの方程式は同じ扱いになるのですか、
等式の性質は理解していますが、両辺に同じ数をかけても等式が成り立つだけであって、その方程式の解は変わるのではないかとおもったのですが、、、

分かりずらい文章ですみません、、

質問者からの補足コメント

• 両辺に数をかける前と後の方程式で解が同じだとなぜ同じ式ということになるのですか？
  そもそも方程式が同じってどういうことでしょうか、、

  No.7の回答に寄せられた補足コメントです。 補足日時：2022/06/21 18:59

No.7 回答者： LHS07 回答日時： 2022/06/21 11:31

1＝1

両辺に2をかけると
2＝2

となり同じですよね。

ｘ＋ｙ＝1
この式でｘが0のとき　ｙは1ですね。
ｙが0のとき　ｘは1ですね。

この式の両辺に2をかけると
2ｘ＋2ｙ＝2
ですね。
この式でｘが0のとき　ｙは1になりますね。
ｙが0のときも　ｘは1ですね。

ということは
ｘ＋ｙ＝1　と　2ｘ＋2ｙ＝2
は同じということです。

すなわち
式に両辺に同じ数をかけても同じということです。----Ans.

No.6 回答者： mtrajcp 回答日時： 2022/06/19 21:34

両辺に0でない同じ数をかけてもよいですが

両辺に0または0になる可能性のある変数をかけてはいけません

例えば

x=y…(1)

↓両辺にxをかけると

x^2=xy…(2)


(1)の解はx=y

(2)の解はx=0またはx=y

となって

かける前の方程式を成り立たせるxとyの値と、
かけた後の方程式を成り立たせるxとyの値は違います

では
両辺に0でない同じ数をかけてもよい理由は

例えば

a≠0とする

x=y…(1)

↓両辺にaをかけると

ax=ay…(2)

↓両辺をaで割ると

x=y…(1)

となって
(1)が成り立つならば(2)が成り立つ
(2)が成り立つならば(1)が成り立つ
から
(1)と(2)は同値になるから
かける前の方程式を成り立たせるxとyの値と、
かけた後の方程式を成り立たせるxとyの値は同じになるのです

No.5 回答者： finalbento 回答日時： 2022/06/19 21:10

例えば

x=y…①

と言う等式の両辺に0でない数aをかけて

ax=ay…②

とした時に「①のxとyは②のxとyは同じではないはずでは?」と言う事ですよね。それなら①の右辺もxにして

x=x…③

と言う場合を考えれば分かりやすいと思います。

③の両辺を同じようにa倍すると

ax=ax…④

となりますが、質問者様の主張は「④の右辺のxと左辺のxは同じではない」と言う事になります。つまり「ある数を定数倍するとその数自身も別の数になる」と言うムチャクチャな主張をしている事になります。

また仮に④の右辺のxと左辺のxが同じではないとすると、右辺のxに0でない数pをかけて左辺のxと同じ数にする事ができるはずですから、左辺のxをそのままxと書くと

ax=apx…⑤

となります。等式の両辺に同じ数をかけても等式が成り立つ事は認めておられるようですから、⑤の両辺をaxで割ると

p=1

これは「④の右辺のxを1倍したものが左辺のxに等しい」すなわち「④の右辺と左辺のxは等しい」と言う意味になります。

No.4 回答者： kairou 回答日時： 2022/06/19 20:46

「等式の性質は理解しています」ならば、

「両辺に同じ数をかけても等式が成り立つ」のですから、
「その方程式の解は変わること」は ありません。

例えば、x+3=5 と云う等式があります。x=5-3=2 ですね。
両辺を 2倍します 2(x+3)=2x5=10 → 2x+6=10 → 2x=4 → x=2 。
6倍します 6(x+3)=30 → 6x+18=6x5=30 → 6x=12 → x=2 。
両辺を 何倍しても ｘ の値が 変わることは ありません。
これが 等式の性質 なのです。

No.3 回答者： head1192 回答日時： 2022/06/19 20:10

X＝Y

→２X＝２Y
だけど、これは省略されている。

正しく書くと
X＝Y
→２X/２＝２Y/２

分母はどちらも２で同じなのだから、あとは分子の問題になる。
等号で結ばれるためには
　２X＝２Y
でなければならない。

No.2 回答者： t_fumiaki 回答日時： 2022/06/19 20:06

試しにやってみたら？x=2でy=1なら

x=2yは○(2=2、x=2でy=1)
2x=4yも○(4=4、x=2でy=1)
3x=6yも○(6=6、x=2でy=1)

No.1 回答者： trajaa 回答日時： 2022/06/19 19:58

>等式の性質は理解していますが、両辺に同じ数をかけても等式が成り立つだけであって、その方程式の解は変わるのではないかとおもったのですが

理解してないじゃん・・・・