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確率について
①Xが実数値をとる確率変数で、f(x)=0(x<=-1),1/4x+1/4 (-1<=x<=1),1/2 (1<=x<=2), 0(x<=2)と示される密度関数f(x)を持つ。Xの分布関数をFとする時、F(3/2)の値を求めよ。
② Xが実数値をとる確率変数で、f(x)=0(x<=-1),1/4x+1/4 (-1<=x<=1),1/2 (1<=x<=2), 0(x<=2)と示される密度関数f(x)を持つ。Xの期待値E[X]を求めよ。
③ Xが実数値をとる確率変数で、f(x)=0(x<=-1),1/4x+1/4 (-1<=x<=1),1/2 (1<=x<=2), 0(x<=2)と示される密度関数f(x)を持つ。この時確率P(0<=X<=1/2)の値を求めなさい。
この3問が分からないので解答、解説お願いします。

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A 回答 (2件)

どこかで見たような問題のようにも思いますが...



分布関数の定義は、F(x) = ∫[-∞,x]f(t)dt です。
f(x) が区間ごとに定義されているならば、
F(x) の右辺の積分もその区間で区切って処理すればよいでしょう。
今回の例であれば、
F(3/2) = ∫[-∞,3/2]f(t)dt
= ∫[-∞,-1]f(t)dt + ∫[-1,1]f(t)dt + ∫[1,3/2]f(t)dt
= ∫[-∞,-1]0dt + ∫[-1,1]{(1/4)t+(1/4)}dt + ∫[1,3/2](1/2)dt
= 0 + 1/2 + 1/4
= 3/4.

期待値の定義は、E[X] = ∫[-∞,+∞]xf(x)dx です。
この積分も、f(x) の定義と同じように区間を区切って計算するとよい。
E[X] = ∫[-∞,+∞]xf(x)dx
= ∫[-∞,-1]xf(x)dx + ∫[-1,1]xf(x)dx + ∫[1,2]xf(x)dx + ∫[2,+∞]xf(x)dx
= ∫[-∞,-1]0dx + ∫[-1,1]{(1/4)x^2+(1/4)x}dx + ∫[1,2]{(1/2)x}dx + ∫[2,+∞]0dx
= 0 + 1/6 + 3/4 + 0
= 11/12.

これも①と同様です。
P[0≦X≦1/2] = P[-∞<X≦1/2] - P[-∞<X≦0]
= F(1/2) - F(0)
= ∫[-∞,1/2]f(t)dt - ∫[-∞,0]f(t)dt
= ∫[0,1/2]f(t)dt
= ∫[0,1]{(1/4)t+(1/4)}dt
= 5/32.
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具体的にはどこで何に困っている?

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この回答へのお礼

どうすればいいのか全く全てがわからないです。

お礼日時:2022/06/20 19:17

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