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α,β,γはα+β+γ=πを満たす正の実数とする。
A=2sinαsinβsinγ
B=(β+γ-α)sinβsinγ+(γ+α-β)sinγsinα+(α+β-γ)sinαsinβ
C=sin²α+sin²β+sin²γ
とする。
α,β,γが変化するとき(A+B)/Cの下限を求めよ。

という問題の質問(現在は削除済み)に対して、ある回答者が
「どれかがπに近付けばA,B→0だからB>0を示せば下限は0と言える」
という主旨の信じられないくらいマヌケなことを書いていて、このままではあまりにも質問者が気の毒なので、微力ながら私も考えてみたところ、
0<x<2π/3 で 5sinx/(2cosx+3)>x
を示せば十分ということが判明し、グラフを描いてみると成り立ちそうなので大丈夫だとは思ったのですが、しかし、微分しやすい形に(A+B)/Cを変形するのもそのあとえんえんと続く微分も人間の力だけではちょっと無理という感じがあって、とくに微分は次から次へ現れる複雑な関数を相手にせねばならず、終わりの見えない計算に目の前が真っ暗になりかけたとき、ウクライナの方々の苦しみが少しだけ分かる気がしました。

そこで質問です。
この問題、なにか仕掛けがあって綺麗に解けるように出来ていたりするのでしょうか?対称的で美しくそして意味ありげな見た目なので、うまい解釈の仕方がありそうな気もします。微分を要しないような解き方に気付いた方がいらっしゃれば、是非教えていただきたいです。よろしくお願いします。

教えて!goo グレード

A 回答 (1件)

書くのが面倒なので、変数を x,y,z とする。


 f(x,y,z)=(A+B)/C
   ={2sinxsinysinz+(π-2x)sinysinz
     +(π-2y)sinxsinz+(π-2z)sinxsiny}/(sin²x+sin²y+sin²z)
とする。
 D={x,y,z|x,y,z≧0 , x+y+z=π}
とする。これは3角形の領域になる。

fは x,y,zのいずれか1つが πの点、つまり、3角形Dの頂点以外で
定義され、連続で、D゜で微分可能となる。


1. 頂点を除く境界でのfの値

1つの辺の境界で
 f(0,y,z)=πsinysinz/(sin²y+sin²z)
    =πsinysin(π-y)/(sin²y+sin²(π-y))=π/2
x,y,zについてfは対称だから、頂点を除く境界で
 f=π/2


2. 頂点でのfの極限

x,yを微小値とすると
 sinx~x, siny~y, sinz=sin(π-(x+y))~(x+y)
なので
 f~{2xy(x+y)+(π-2x)y(x+y)
    +(π-2y)x(x+y)+(2(x+y)-π)xy}/{x²+y²+(x+y)²}
ここで3次の微小を消して

  ~π{y(x+y)+x(x+y)-xy}/{2(x²+y²+xy)}
   =π{x²+y²+xy}/{2(x²+y²+xy)}=π/2
となり、対称だから各頂点でも
 f → π/2
となる。

したがって、改めて各頂点で f=π/2≒1.57 と定義すれば fはDで
連続関数となる。
さらに、Dで fは有界だから、Dで必ず最小最大を持つ。


3. D゜での極値

D゜で fが最大最小を持つなら、fが微分可能なので、それは停留点
(極値)となる。ラグランジュの方法により
 fx=fy=fz=λ , x+y+z=π
を得る。

x,y,zを入れ替えても変わらない対称性
 f(x,y,z)=f(y,x,z)=f(y,z,x)
などから
 fx(x,y,z)=fx(y,x,z)=fx(y,z,x)
などを得る。

つまり、停留点がD゜にあれば
 x=y=z(=π/3)
となる、だだ1つの停留点となる。すると
  f(π/3,π/3,π/3)=(√3+π)/3≒1.62
となり、これは境界の値より大きいので最大値とわかる。

結局、fはD゜で最大値を持つからDでの最小値は境界の
 π/2
である。

これは、元の領域 x,y,z>0 での下限を示している。


3. 感想

どうひっくり返っても微分は無理だった。(-_-)_/Ω
添付の図を見て考え続けた。(∪_∪)。。。

多少ロジックに不安があるが突っ込みがあれば助言願います。

気持ち悪いのは如何なる対称な f(極端なものでなければ) でも
同じ議論になる・・・・((((((^_^;)
「α,β,γはα+β+γ=πを満たす正の実」の回答画像1
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この回答へのお礼

ありがとう

ありがとうございます。
今のところそのような方法がもっとも実践的な気がします。

お礼日時:2022/06/26 19:59

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