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積分の計算にてこづっています。2曲線の面積を求める問題なのですが
[-1/2cos2x+cosx]上端π/3下端0+[-cosx+1/2cos2x]上端π下端π/3
という式で、
(1/4+1/2)-(-1/2+1)+(1+1/2)-(-1/2-1/4)=5/2という答えなのですが、自分が計算すると(-1/2+1/2)+(1-1)+(1-1)+(1/2-1/2)=0 となってしまいました。
通常面積の値なので0はないはずですが、どのように計算して答えが5/2となるのか教えてくださいませんか?自分がどこで躓いているのか知りたいです。
工夫された計算の仕方がある場合は、途中式付きでご教示していただけますか。

「積分の計算にてこづっています。2曲線の面」の質問画像

質問者からの補足コメント

  • 参考までに、問題文は
    0≦x≦πの範囲で、2曲線y=sinx, y=sin2xで囲まれた部分の面積Sを求めよ。というものです。

      補足日時:2022/06/25 13:30
教えて!goo グレード

A 回答 (4件)

間違いはおよそ以下ではないですか?



1 cos2xの2を見落としている
2,cosの係数-1/2や-1や1/2を見落としている
3,cosの値を勘違いしている
4,上端を代入したものはそのままで良いが
下端を代入したものはマイナス倍して扱うことを忘れている
5、4は理解しているが
(面倒くさがり屋な人がやりがちだが)
独特な並び順で表記して
ケアレスミスを犯している
例えば
[-1/2cos2x+cosx]上端π/3下端0
について
普通はまず 上端代入の物をすべて表し
次に下端代入の物をマイナスにして表すので・・・(A)

[-1/2cos2x+cosx]上端π/3下端0
=-1/2cos2(π/3)+cos(π/3)
-{-1/2cos(2・0)+cos0}
=-1/2cos(2π/3)+cos(π/3)
-{-1/2cos(2・0)+cos0}
=(-1/2)・(-1/2)+(1/2)
-{-1/2+1}
=1/4+1/2-{-1/2+1}
とするべきところを
この代入順を(2つ目の定積分を含めて)守らず
例えば 
-1/2cos2xに、上端π/3下端0を代入したものを書き並べる
cosxに上端π/3下端0を代入したものを書き並べる
というようなことをしていると 
符号ミスが起きやすい・・・

係数見落としなどを再確認して
特に5をやってしまっているようなら
それを改め
文章(A)に忠実に式を作ってみると正しい答えが出ると思いますよ
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この回答へのお礼

助かりました

参考にさせていただきます。 大変勉強になります。

お礼日時:2022/06/26 12:25

とすれば、sinx,sin2xの交点は


 sinx=sin2x=2sinxcosx → sinx(1-2cosx)=0
→ x=0,π,π/3
となり、途中の交点は π/3

すると
 S=∫[0,π/3] (sin2x-sinx)dx+∫[π/3,π] (sinx-sin2x)dx
  =[-(cos2x)/2+cosx][π/3,0] +[-cosx+(cos2x)/2][π,π/3]
  =(1/4+1/2)-(-1/2+1)+(1+1/2)-(-1/2-1/4)
  =3/4-1/2+3/2+3/4
  =5/2
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この回答へのお礼

解決しました

再投稿ありがとうございます。

お礼日時:2022/06/26 12:23

S = ∫[0,π/3]{ sin(2x) - sin(x) }dx + ∫[π/3,π]{ sin(x) - sin(2x) }dx


= [ (-1/2)cos(2x) + cos(x) ]_(0,π/3) + [ -cos(x) + (1/2)cos(2x) ]_(π/3,π)
= [ (-1/2)cos(2x) ]_(0,π/3) + [ cos(x) ]_(0,π/3)
 + [ -cos(x) ]_(π/3,π) + [ (1/2)cos(2x) ]_(π/3,π)
= { (-1/2)cos(2・π/3) - (-1/2)cos(2・0) } + { cos(π/3) - cos0 }
  + { -cosπ - (-cos(π/3)) } + { (1/2)cos(2・π) - (1/2)cos(2・π/3) }
= { (-1/2)(-1/2) - (-1/2)1 } + { 1/2 - 1 }
  + { 1 - (-1/2) } + { (1/2)1 - (1/2)(-1/2) }
= { 1/4 + 1/2 } - { - 1/2 + 1 }
  + { 1 + 1/2 } - { - 1/2 - 1/4 }
で、写真のとおりですが。 どの部分に疑問がありますか?

(-1/2+1/2)+(1-1)+(1-1)+(1/2-1/2) というのは、
どういう計算から出てきたのでしょうか。
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この回答へのお礼

非常に勉強になりました。

お礼日時:2022/06/26 12:24

(1/4+1/2)-(-1/2+1)+(1+1/2)-(-1/2-1/4)=5/2


は間違い。

 (1/2+0)-(-1/2+1)+(1+1/2)-(0-1/2)=2
です。
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