画像の青い式から赤い下線部のように導かれる理由を詳しく教えて下さい。

画像の青い式から赤い下線部のように導かれる理由を詳しく教えて下さい。

No.2 回答者： yhr2 回答日時： 2022/06/26 11:20

No.1 です。

「お礼」に書かれたのは、質問事項に関連する話ですか？
それとも全く別な質問？

＞「f(θ)=sinθ/cosθ=-1/(θ-π/2)+…」
＞において、

それはどんな式なのですか？
そもそも θ ≠ π/2 でないと成り立たないし、2項目以降がどうなっているのかもわからないし。

＞m≧-k
＞となる理由もわかりません。

m = n - k
で
　n≧0
なのだから
　m = n - k ≧ 0 - k = -k
ですよ？

No.1 回答者： yhr2 回答日時： 2022/06/26 00:39

何も特別なことはしていないと思いますよ。

青の式は

1/(z + 1) = a1*(z - 1)^2 + a2*(z - 1)^3 + a3*(z - 1)^4 + ･･･　　　①

ですから、単に「多項式の微分」をしているだけです。

z で (n + 1) 回微分すれば、
　(z - 1)^2 ～ (z - 1)^n
までの項は消えます。
そして、
・(z - 1)^(n + 1) の項は定数に
・(z - 1)^(n + 2) 以上の項は (z - 1)^(ｍ + 1 - (n - 1)) = (z - 1)^(ｍ - n) に
になります。

(z - 1)^(m + 1) の項をz で (n + 1) 回微分すれば（m > n）、
・１回微分すれば (m + 1)(z - 1)^m
・２回微分すれば m(m + 1)(z - 1)^(m - 1)
・３回微分すれば (m - 1)m(m + 1)(z - 1)^(m - 2)
　・・・
・ (n + 1) 回微分すれば (m - n + 1)･･･(m - 1)m(m + 1)(z - 1)^(m - n)
この係数は
　(m - n + 1)･･･(m - 1)m(m + 1)
= 1･2･･･(m - n)･･･(m - 1)m(m + 1) / [1･2･･･(m - n)]
= (m + 1)! / (m - n)!

それが「赤」の式です。

この回答へのお礼

ご丁寧にありがとうございます。
補足で申し訳ないのですが、

「f(θ)=sinθ/cosθ=-1/(θ-π/2)+…」
において、-1/(θ-π/2)+…の部分はどうやって求めたのでしょうか？

また、

整数n≧0
自然数k
m=n-kとすると
m≧-k
m+k=nだから

において、
m≧-k
となる理由もわかりません。

どうか教えて下さい。よろしくお願い致します。

お礼日時：2022/06/26 03:32