G(s)＝1/(s^2(s+1))に大きさ1のステップ入力を加えた場合の時間応答を逆ラプラス変換を用

G(s)＝1/(s^2(s+1))に大きさ1のステップ入力を加えた場合の時間応答を逆ラプラス変換を用いて求めて下さい。

No.2 回答者： tknakamuri 回答日時： 2022/06/28 11:25

普通の解き方

F(s) = A/s + B/s^2 + C/s^3 + D/(s+1)
とすると、F(s)を通分した分子は
A(s^2(s+1)) + B(s(s+1)) + C(s+1) + s^3・D
= A(s^3 + s^2) + B(s^2+s) + C(s+1) + s^3・D
= (A + D)s^3 + (A+B)s^2 + (B+C)s + C = 1
なので
A+D=0, A+B=0, B+C=0. C=1
→ B=-1, A=1, D=-1, C=1
なので、変換表引いて
f(t) = 1 - t + (1/2)t^2 - e^(-t)

No.1 ベストアンサー 回答者： tknakamuri 回答日時： 2022/06/28 10:53

ステップ応答 F(s) = (1/s)G(s) = 1/{s^3(s+1)}

地道に部分分数展開するのが定跡ですが、

e^(st)F(s) の留数の和
の方が楽そうなので

s=0 3位の留数は (1/2!){(d^2/ds^2)(e^(st)s^3F(s)}|s=0 =
(1/2)t^2 - t + 1

s=-1 1位の留数は e^(st)(s+1)F(s)|s=-1 = -e^(-t)

合わせて
(1/2)t^2 - t + 1　-e^(-t)

この回答へのお礼

返信遅くなりました。本当にありがとうございます。助かりました。

お礼日時：2022/07/03 20:19