絶対値 場合分け |x-2|≦x、この問題の場合分けについて教えてください。≧、≦のようにx-2=0

絶対値　場合分け
|x-2|≦x、この問題の場合分けについて教えてください。≧、≦のようにx-2=0を含めるのか0の場合に限り=とするのか分かりません(場合分けが2つが3つか)

No.5 回答者： syotao 回答日時： 2022/06/27 16:03

特に場合分けせず次のようにする手もある：

絶対不等式　-|x-2|≦x-2　と|x-2|≦x　とから辺々加えて0≦2ｘ-2
1≦ｘ
逆に1≦ｘならば2≦2ｘ、2-ｘ≦ｘだから
1≦ｘ≦2のとき|x-2|≦x、がなりたつ。
また2≦ｘならｘ-2≦ｘよりやはり|x-2|≦x　がなりたつ。
ゆえに答は　1≦ｘ

No.4 回答者： kairou 回答日時： 2022/06/27 15:30

学校の授業では どんな場合分けをしましたか。

それに従ってください。
学校のテストは 先生の好みが反映される場合があります。
一般的には この様な 簡単な式の場合、
x-2≧, x-2<0 と プラスの方に = を重ねます。
どちらに付けても 答には影響しない筈です。
両方に付けても 数学的には良いのですが、
ダメだと考える 先生もいるようです。

No.3 回答者： ありものがたり 回答日時： 2022/06/27 14:06

ああ、問題は与えれれているのか。

|x-2|≦x ですね。 この問題なら、
x-2≧0, x-2<0 でも x-2>0, x-2≦0 でも x-2≧0, x-2≦0 でも
どれでも大差はありません。
ここまで簡単な問題というと、学内の定期テストか何かでしょうか？
身内の小さなテストだと、採点する先生の裁量が大きいので、
x-2≧0, x-2≦0 のような重複のある場合分けを嫌って減点する
馬鹿な先生も少なくありません。
そういうとこは、迎合して安全策をとるほうがよいでしょうねえ。

No.2 回答者： ありものがたり 回答日時： 2022/06/27 13:44

問題の内容による。

x-2>0, x-2=0, x-2<0 の 3つに場合分けするのが本来だが、
実用上、x-2=0 の場合はどちらかにくっつけて
x-2≧0, x-2<0 か x-2>0, x-2≦0 で考えられる場合が多く、
くっつけられればくっつけたほう、場合分けした後の労力は少ない。
x-2≧0, x-2<0 でも x-2>0, x-2≦0 でもどちらにでもくっつけられる場合には、
x-2≧0, x-2≦0 と場合分けしても支障は発生しない。
どの分け方が書きやすく見やすいかは、個々の問題の内容による。

No.1 回答者： masterkoto 回答日時： 2022/06/27 12:24

グラフ化してみればよいです

すると、この不等式は
直線y＝|x-2|
と
直線y＝x
について
後者の直線のy座標が前者よりも大きくなる範囲を表していることがわかるはず
そのような範囲を求めるには
3つに場合わけでもよいし
x-2>=0
x-2<0
と言うように2つに場合わけでもよいことがわかるはず
ならは、よりスマートな2つに場合わけを採用したいところ…