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オイラーの公式(複素数の式)である青い下線部は=re^iθですが、
なぜ斜辺の長さz-a= re^iθと出来るのでしょうか?

re^iθは複素数ですが、z-a= re^iθより円の図の斜辺を表しているのでしょうか?
しかし、斜辺はrであるためre^iθは斜辺の長さではないのかなと思いますが、だとしたらre^iθは円の図のどこを表しているのでしょうか?

どうかわかりやすく教えて下さい。

「オイラーの公式(複素数の式)である青い下」の質問画像
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A 回答 (5件)

z-a=re^iθ


は長さではありません
斜辺の長さは
r
です

re^iθは斜辺ベクトルを表しているのです

r は斜辺ではありません
r は斜辺の長さです

re^iθは斜辺の長さではありません

re^iθは斜辺ベクトルを表しているのです

斜辺の長さは r です

re^iθ

斜辺ベクトル
(rcosθ,rsinθ)

表しているのです

re^iθ

aを原点とした時の
x座標がrcosθ
y座標がrsinθ
である

z
の位置を表しているのです
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この回答へのお礼

ありがとうございます!
あのできれば16時間前ほどに投稿した
「画像より、
n≦-2の時に関して、なぜg(z)は|z-π/2|<πで正則とわかったのでしょうか?

また、n≧-1の時、黒い下線部の式に試しにn=-1を代入した際にg(z)=tan(z)(z-π/2)^(-n-1)は
g(z)=tan(z)(z-π/2)^0になりますが、この式はn=-1の時は特異点を持っていないですが、なぜ極を持つのでしょうか?

また、k=n+2はどうやって導かれたのでしょうか?

また、なぜk=aとしたのでしょうか?
どうかよろしくお願い致します。」の質問に答えていただけるとありがたいです。

お礼日時:2022/06/28 13:31

まず


実数と虚数を合わせて複素数と言いますよね
すなわち、複素数は実数と虚数に分類されると言うこと
ゆえに、a、Zなどが実数なのか虚数なのかわからずとも
複素数である事にはなります…

次に複素数平面で考えます
z、aに対応する点をそれぞれ
Z(z)、A(a)とすれば
z-aに対応する点は
AがOの位置移るように
線分AZを平行移動した線分の
Oでない方の端点ですよね

これが右辺re^iθに等しいと言うことですよね
e^iθ=cosθ+isinθ…(オイラーの公式)
は、これに対応する点をPとして
この複素数が表す長さ(大きさ)1の線分OPの位置が
θによってその位置を変える(θによってOを中心に回転する)ので
θの値ごとに変わるPの奇跡が半径1の円をなしていると言うことですから

re^iθに対応する点P'はこの円の軌跡の半径がr倍になり
O中心の半径rの円を描くと言う意味ですよね

ゆえにθが変化するなら
z-aに対応する複素数平面上の点は
その軌跡がO中心の半径rの円を描く事になりますし
θが定数なら
z-aに対応する複素数平面上の点も
動的でなくなり
rは線分AZの長さに相当と言う事になります
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>re^(iθ)は長さ(絶対値)とは半径の長さrと何が違うのでしょうか?


同じです。

>複素数の長さ?がre^(iθ)という事ですか?
z-aの大きさ(=絶対値=長さ=円の半径)がrです。
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複素数aと複素数zの「差」 z-aはオイラーの公式で


あらわすことが出きます。

z-a=re^(iθ)

rはaとzの距離(差の絶対値
θはaとzを通る直線と実軸のなす角

>斜辺はrであるためre^iθは斜辺の長さではないのかなと思いますが

長さはrでre^(iθ)の長さ(絶対値)のこと。

re^(iθ)=z-a
だからaからzへの斜め線(ベクトル)を表してる。
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この回答へのお礼

ありがとうございます。

長さはrでre^(iθ)の長さ(絶対値)について、長さは基本的に正の値ですが、rは円の半径の長さですが、re^(iθ)は長さ(絶対値)とは半径の長さrと何が違うのでしょうか?

要は、複素数の長さ?がre^(iθ)という事ですか?
しかし、aとzはただの長さに思えるのですが、なぜaとzのは複素数と言えるのでしょうか?

どうかよろしくお願い致します。

お礼日時:2022/06/28 09:43

まず、複素数 x+iy はよく知られたように x-y座標の1てんで


あらわされる。これを複素平面という。

z=re^iθは図のzの位置とするなら、rは原点からの長さです。
ここが間違っています。

z-a は複素数 z,aの差で |z-a|はその長さで図で書いてある r
になります。z=re^iθ の rでは無いですが。
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