オイラーの公式(複素数の式)である青い下線部は=re^iθですが、 なぜ斜辺の長さz-a= re^i

オイラーの公式(複素数の式)である青い下線部は=re^iθですが、
なぜ斜辺の長さz-a= re^iθと出来るのでしょうか？

re^iθは複素数ですが、z-a= re^iθより円の図の斜辺を表しているのでしょうか？
しかし、斜辺はrであるためre^iθは斜辺の長さではないのかなと思いますが、だとしたらre^iθは円の図のどこを表しているのでしょうか？

どうかわかりやすく教えて下さい。

No.3 ベストアンサー 回答者： mtrajcp 回答日時： 2022/06/28 11:04

z-a=re^iθ

は長さではありません
斜辺の長さは
r
です

re^iθは斜辺ベクトルを表しているのです

r は斜辺ではありません
r は斜辺の長さです

re^iθは斜辺の長さではありません

re^iθは斜辺ベクトルを表しているのです

斜辺の長さは　r です

re^iθ
は
斜辺ベクトル
(rcosθ,rsinθ)
を
表しているのです

re^iθ
は
aを原点とした時の
x座標がrcosθ
y座標がrsinθ
である
点
z
の位置を表しているのです

この回答へのお礼

ありがとうございます！
あのできれば16時間前ほどに投稿した
「画像より、
n≦-2の時に関して、なぜg(z)は|z-π/2|<πで正則とわかったのでしょうか？

また、n≧-1の時、黒い下線部の式に試しにn=-1を代入した際にg(z)=tan(z)(z-π/2)^(-n-1)は
g(z)=tan(z)(z-π/2)^0になりますが、この式はn=-1の時は特異点を持っていないですが、なぜ極を持つのでしょうか？

また、k=n+2はどうやって導かれたのでしょうか？

また、なぜk=aとしたのでしょうか？
どうかよろしくお願い致します。」の質問に答えていただけるとありがたいです。

お礼日時：2022/06/28 13:31

No.5 回答者： masterkoto 回答日時： 2022/06/28 12:12

まず

実数と虚数を合わせて複素数と言いますよね
すなわち、複素数は実数と虚数に分類されると言うこと
ゆえに、a、Zなどが実数なのか虚数なのかわからずとも
複素数である事にはなります…

次に複素数平面で考えます
z、aに対応する点をそれぞれ
Z(z)、A(a)とすれば
z-aに対応する点は
AがOの位置移るように
線分AZを平行移動した線分の
Oでない方の端点ですよね

これが右辺re^iθに等しいと言うことですよね
e^iθ＝cosθ+isinθ…(オイラーの公式)
は、これに対応する点をPとして
この複素数が表す長さ(大きさ)１の線分OPの位置が
θによってその位置を変える(θによってOを中心に回転する)ので
θの値ごとに変わるPの奇跡が半径１の円をなしていると言うことですから

re^iθに対応する点P'はこの円の軌跡の半径がr倍になり
O中心の半径rの円を描くと言う意味ですよね

ゆえにθが変化するなら
z-aに対応する複素数平面上の点は
その軌跡がO中心の半径rの円を描く事になりますし
θが定数なら
z-aに対応する複素数平面上の点も
動的でなくなり
rは線分AZの長さに相当と言う事になります

No.4 回答者： tknakamuri 回答日時： 2022/06/28 11:50

>re^(iθ)は長さ(絶対値)とは半径の長さrと何が違うのでしょうか？

同じです。

>複素数の長さ？がre^(iθ)という事ですか？
z-aの大きさ(=絶対値=長さ=円の半径)がrです。

No.2 回答者： tknakamuri 回答日時： 2022/06/28 08:38

複素数aと複素数zの「差」 z-aはオイラーの公式で

あらわすことが出きます。

z-a=re^(iθ)

rはaとzの距離(差の絶対値
θはaとzを通る直線と実軸のなす角

>斜辺はrであるためre^iθは斜辺の長さではないのかなと思いますが

長さはrでre^(iθ)の長さ(絶対値)のこと。

re^(iθ)=z-a
だからaからzへの斜め線(ベクトル)を表してる。

この回答へのお礼

ありがとうございます。

長さはrでre^(iθ)の長さ(絶対値)について、長さは基本的に正の値ですが、rは円の半径の長さですが、re^(iθ)は長さ(絶対値)とは半径の長さrと何が違うのでしょうか？

要は、複素数の長さ？がre^(iθ)という事ですか？
しかし、aとzはただの長さに思えるのですが、なぜaとzのは複素数と言えるのでしょうか？

どうかよろしくお願い致します。

お礼日時：2022/06/28 09:43

No.1 回答者： endlessriver 回答日時： 2022/06/28 07:55

まず、複素数 x+iy はよく知られたように x-y座標の1てんで

あらわされる。これを複素平面という。

z=re^iθは図のzの位置とするなら、rは原点からの長さです。
ここが間違っています。

z-a は複素数 z,aの差で |z-a|はその長さで図で書いてある r
になります。z=re^iθ の rでは無いですが。