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l x-a l < 3/4 a   
という式から
a/4 < x
という式になる過程が分かりません。
(a,x ≧ 0 です。)

ちなみに自分では
l x l - l a l ≦ l x-a l < 3/4 a   より、
l x l < 7a/4
のみ求められました。(が、不要でした…)

三角不等式を使うという見当はついてますが、、的外れでしたらすみません(T_T)

質問者からの補足コメント

  • HAPPY

    なるほど……!やってる事は普通にいつもの絶対値の処理と同じで、正負の時で場合分けをしてただけなのですね!
    最近の証明で三角不等式が多かったが故に囚われすぎていました、、
    気をつけます!皆さんありがとうございました!!

      補足日時:2022/06/30 04:37
教えて!goo グレード

A 回答 (3件)

a ≧ 0 ならば



| x - a | < (3/4)a
⇔ -(3/4)a < x - a < (3/4)a 
⇔ -(3/4)a + a < x - a + a < (3/4)a + a
⇔ ( - (3/4) + 1 )a < x < ( 3/4 + 1 )a
⇔ (1/4)a < x < (7/4)a
と変形できる。

この絶対値の処理を
| y | < 5
⇔ -5 < y < 5
と見比べてみてほしい。
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絶対値は、その中が「正」か「負」かで場合分けして外します。

それが定石。

A>0 のとき |A| = A
A<0 のとき |A| = -A (>0)
A=0 のとき |A| = A = -A (=0)

ですから。
(A=0 のときは両方に当てはまるので、どちらかに含めてしまえばよいです)

お示しの問題の場合には「x - a」の正負によって、下記の2つに分けて考えます。

(i) x - a ≧ 0 つまり (0 ≦) a ≦ x のとき   ①
与式は
 x - a < (3/4)a
→ x < (7/4)a
①の条件と合わせて
 (0 ≦) a ≦ x < (7/4)a    ②

(ii) x - a < 0 つまり (0 ≦) x < a のとき   ③
与式は
 -(x - a) < (3/4)a
→ (1/4)a < x
③の条件と合わせて
 (1/4)a < x < a      ④

よって、求める x の範囲は、②と④の合成範囲で
 (1/4)a < x < (7/4)a
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x<a



x>aで場合わけ
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